Geometria Projetiva

Geometria ProjetivaGeometria Projetiva
Claudio Esperança
Paulo Roma Cavalcanti

EuclidesEuclides
• Considerado o pai da geometria.
• Grego, viveu em 300 AC, e acredita-se que esteve
ativo em Alexandria (Egito) durante o reinado de
Ptolomeu (323-283 AC).
• Os Elementos é o livro mais bem sucedido da
história da Matemática.
 É um tratado geométrico escrito em 13 volumes.
 Compreende uma coleção de definições, postulados (
axiomas), proposições (teoremas e construções), e
provas matemáticas das proposições.
 O 13° livro cobre a geometria Euclideana e uma
versão Grega antiga e elementar da teoria dos
números.

Os ElementosOs Elementos
• Os Elementos de Euclides é o livro texto mais bem
sucedido [1][2], e que mais influenciou o
pensamento [3], já escrito.
• Impresso pela primeira vez em Veneza em 1482.
 Foi um dos primeiros trabalhos sobre matemática a
ser impresso após a invenção da imprensa, perdendo
apenas para a bíblia, quanto ao número de edições
(mais de 1.000).
• Foi usado como texto básico de geometria no
mundo Ocidental por cerca de 2.000 anos.

O Quinto PostuladoO Quinto Postulado
• Por um ponto exterior a uma reta dada, pode ser
traçada uma única reta paralela.
 Durante séculos se tentou deduzir este axioma, a
partir dos outros axiomas.
• Pergunta: pode-se construir uma geometria sem o
quinto axioma?
• Diferentes geometrias (não Euclideanas) podem ser
criadas baseadas na negação do quinto axioma:
 A geometria Projetiva não contém o conceito de
paralelismo.
 A geometria Hiperbólica admite uma infinidade de
retas paralelas.

Geometrias Não EuclideanasGeometrias Não Euclideanas
• Várias tentativas foram feitas, mas até o final
do século 18 e o meio do século 19, o
pensamento matemático não estava maduro
o suficiente.

Projeção PerspectivaProjeção Perspectiva
• Do latim perspicere, ou “ver através”, é uma
representação aproximada de uma imagem,
como percebida pelo olho, sobre uma
superfície plana.
 Objetos são desenhados menores a medida
que a distância aumenta.
 As dimensões de um objeto ao longo da linha
de visão são relativamente menores que as
dimensões perpendiculares à linha de visão.

ConstruçãoConstrução
• Conceitos:
 Encurtamento.
 Linha do horizonte.
 Pontos de fuga.

HistóricoHistórico
• Na idade Média, arte era para ser lida como um
grupo de símbolos, ao invés de ser vista como uma
figura coerente.
 O único método de retratar distâncias era por
sobreposição de personagens.
• Sopreposição é um método ruim para retratar
arquitetura.
• Pinturas medievais de cidades são um amontoado
de linhas em todas as direções. A heráldica
tipicamente ignora a perspectiva no tratamento dos
brasões, embora algumas vezes, nos séculos
passados, os brasões fossem desenhados em
perspectiva.

Ilustração doIlustração do GuillaumeGuillaume dede TyrTyr's's
(1200-1300 DC)(1200-1300 DC)

Perspectiva nas ArtesPerspectiva nas Artes
• Em 1415, Filippo Brunelleschi demonstrou o
método geométrico da perspectiva, usado
atualmente pelos artistas, pintando esboços
de vários prédios Florentinos sobre um
espelho.
• Logo após, quase todo artista em Florença
usava perspectiva geométrica nas suas
pinturas, notadamente Donatello, que
começou a esculpir pisos quadriculados
elaborados.

Anunciação, de Botticelli (1489-1490)Anunciação, de Botticelli (1489-1490)

Afresco da Capela Cistina (1481-1482)Afresco da Capela Cistina (1481-1482)

Retas Paralelas ConvergemRetas Paralelas Convergem

Geometria Euclideana em C.G.Geometria Euclideana em C.G.
• Transformações Lineares preservam
paralelismo.
• Transformação perspectiva NÃO é linear.
• Visão humana funciona com uma câmera.
 Cristalino é a lente e a retina, o plano de
projeção.
• Câmera virtual precisa de um outro modelo
de geometria.

Computação GráficaComputação Gráfica
• Projeção paralela (preserva comprimentos).
• Projeção perspectiva com um, dois ou três pontos
de fuga.

Projeções ParalelasProjeções Paralelas

Projeção OrtográficaProjeção Ortográfica

Projeções Ortográficas AxonométricasProjeções Ortográficas Axonométricas
• Mostram mais de um lado.
• Na projeção isométrica, a normal do plano de
projeção forma ângulos idênticos com os eixos x, y
e z (intersecta os eixos em distâncias iguais).

Projeções OblíquasProjeções Oblíquas
• Projetores não são perpendiculares ao plano de projeção.
• Projeção Cavalière.
 Uma face do objeto paralela ao plano de projeção e o terceiro
eixo forma um ângulo, tipicamente, de 30° ou 45°.
 O comprimento do terceiro eixo não sofre escala.
 Linhas perpendiculares ao plano de projeção têm os
comprimentos preservados.

Projeções OblíquasProjeções Oblíquas
• Projeção Cabinet (indústria de mobílias).
 Similar a projeção Cavalière.
 Uma face do objeto é paralela ao plano de projeção e o
terceiro eixo forma um ângulo de de 30° ou 45°.
 No entanto, linhas perpendiculares ao plano de
projeção têm os comprimentos reduzidos à metade.

Projeção CavalièreProjeção Cavalière

Geometria ProjetivaGeometria Projetiva
• Blaise Pascal (1623-1662) foi um dos
precurssores da Geometria Projetiva.
 Matemático, físico, filósofo religioso e escritor.
 Garoto prodígio, foi educado pelo pai, que era
um contador.
• Seus primeiros trabalhos foram nas ciências
aplicadas:
 Calculadoras mecânicas, fluidos, pressão e
vácuo.

Duas Novas Áreas de PesquisaDuas Novas Áreas de Pesquisa
• Pascal foi um grande matemático, que, aos 16
anos de idade, contribuiu substancialmente
na criação da geometria projetiva.
 Mais tarde, com Pierre de Fermat, estudou a
teoria da probabilidade, influenciando o
desenvolvimento da economia moderna e
ciências sociais.

PascalinePascaline
• Em 1642, antes dos 19 anos, num esforço para
ajudar seu pai nos cálculos e recálculos
exaustivos e infindáveis, sobre taxas devidas
e pagas, Pascal construiu uma calculadora
mecânica capaz de adicionar e subtrair:
 Calculadora de Pascal ou a Pascaline.

Uma das Primeiras PascalinesUma das Primeiras Pascalines

FrasesFrases FamosasFamosas
• “O coração tem razões que a própria razão
desconhece”.
• "O amor é cego; a amizade fecha os olhos."
• "Ninguém é tão ignorante que não tenha algo
a ensinar; e ninguém é tão sábio que não
tenha algo a aprender."
• "O pensamento é a grandeza do homem."

BiografiaBiografia
• Perdeu a mãe aos 3 anos de idade e tinha
duas irmãs.
• Como tantos outros, seu pai Étienne, foi
forçado a fugir de Paris por se opor à política
fiscal do Cardeal Richelieu.
• Mas tarde, em 1639, já perdoado, seu pai foi
designado comissário de taxas do rei na
cidade de Rouen.
• Extremamente religioso, mas de saúde fraca,
morreu aos 39 anos de idade.

Retrato de Blaise PascalRetrato de Blaise Pascal

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