Ap geometria plana resolvidos

Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas

Apostila de Matemática # 3

Assunto:

Geometria Plana

Organização: PET-CT

Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas
Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 1

1 - INTRODUÇÃO
Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-ExaCTa, projeto que foi idealizado
pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O
projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,
física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o
projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-
las.

Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se
tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor
aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em
capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e
exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é
extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que
forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos
professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida. Na nossa apostila,
trataremos de assuntos bem interessantes, como tudo na matemática. Estudaremos retas,
ângulos, polígonos, etc. São conteúdos que servem de base para toda a geometria. É
fundamental que todos se esforcem (e se divirtam!) para que cada conteúdo seja fixado
corretamente.

2 - SEGMENTO DE RETA
2.1- Noções Primitivas e Conceitos
Ponto: Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. A marca de uma
ponta de lápis no papel dá a idéia do que é um ponto.
Reta: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
Pontos colineares:São pontos que pertencem a uma mesma reta.
Plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Pontos coplanares: São pontos que pertencem ao um mesmo plano.
Os pontos A,B e C são coplanares pois todos pertencem
ao mesmo plano α.


Exercício Resolvido

Classifique como verdadeiras(V) ou falsas(F) as sentenças abaixo:

a)Por um ponto passam infinitas retas

b)Por dois pontos distintos passa uma reta

c)Uma reta contém dois pontos distintos

d)Dois pontos distintos determinam uma só reta

e)Por três pontos dados passa uma só reta

Solução: V/V/V/V/F

2.2- Segmentos de reta – Conceitos.
Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião desses dois pontos com o conjunto
dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Sendo assim, o segmento de reta
é limitado por dois pontos da reta.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se a extremidade de
um deles é também extremidade do outro.
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se
possuem em comum apenas uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internos
comuns.
AD e DB são consecutivos, colineares e adjacentes.

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.
Obs:"~" é o símbolo de congruência( AB~CD).

Ponto médio de um segmento: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB somente
se M está entre A e B e AM=MB.
Semirreta: A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui
início, mas não tem fim.



Determine x, sendo M ponto médio de AB.

Solução

2x-3=x+4

2x-x=4+3

x=7

3- ÂNGULOS
3.1- Definições
Definição: Denomina-se ângulo a figura geométrica constituída por duas semi-retas de
mesma origem.

Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .
A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (1º).
Bissetriz de um ângulo

Uma semi-reta OB interna a um ângulo AÔC é bissetriz do ângulo AÔC se, e somente
se:
AÔB=BÔC



Se OP é bissetriz de AÔB, determine x:

Solução

3x-5=2x+10

3x-2x=10+5

x=15°

3.2- Tipos de Ângulos

3.2 a) Ângulos Consecutivos
Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados.

AÔB e AÔC são consecutivos. OA é o lado comum.
AÔC e BÔC são consecutivos. OC é o lado comum.
AÔB e BÔC são consecutivos. OB é o lado comum.

3.2 b) Ângulos Adjacentes
Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retas
opostas. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos
internos comuns.

AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
3.2 c) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um dele são as
respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Note que duas retas concorrentes
determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.


3.2 d) Ângulos Complementares
Dois Ângulos cujas medidas somam 90°.
3.2 e) Ângulos Suplementares
3.2 f) Ângulos Replementares
OBS.: Se indicarmos a medida de um ângulo por x, então:
90°-x é a medida do seu complemento
180°-x é a medida do seu suplemento
360°-x é a medida do seu replemento


Ao resolver um problema em que se pedia a medida do complemento de um certo ângulo,
um aluno calculou a medida do suplemento, encontrado, assim, um valor sete vezes
maior que o solicitado. Se indicarmos a medida do ângulo por x, então x é igual a:

180°-x=7(90°-x)

180-x=630-7x

6x=450°

x=75°

3.2 g)Ângulo reto

3.2 h)Ângulo agudo


3.2 i)Ângulo obtuso


Calcule o valor de x sabendo que o ângulo SÔR é reto.

Solução

4x+3x+2x=90°

9x=90°

x=10°

Exercícios

1)Classifique em V ou F:
a)Três pontos distintos são sempre colineares
b)Três pontos distintos são sempre coplanares
c)Quatro pontos todos distintos determinam duas retas
d)Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta


e)Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares

2)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:
a)100°
b)144°
c)36°
d)80°
3)Determine AB sendo M o ponto médio.

4)Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66° ?
5)Determine o valor de α:

6)Determine PQ, sendo AB=31

7)Determine o valor de x:

8)Determine o valor de x:


Respostas
1) a)F b)V c)F d)V e)F
2)A
3)42
4)123°
5)60°
6)11
7)55°
8)30°

4 – TRIÂNGULOS
4.1 – Conceitos, elementos e classificação
 Conceito

No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três
linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e
três ângulos internos que somam 180°. Dados três pontos A, B e C não colineares, a
reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.
Também representado por: Triângulo ABC = ΔABC, ΔABC = AB U AC U BC

 Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do Δ ABC.
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os
lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A C ou e A B ou são os ângulos do Δ ABC (ou
ângulos internos do Δ ABC).


Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, e são, respectivamente, opostos.

 Classificação
a) Quanto aos lados

ΔABC Equilátero ΔRST Isósceles ΔMNP Escaleno
Equilátero ( 3 lados iguais) Isósceles (2 lados iguais) Escaleno (3 lados diferentes)
b) Quanto aos ângulos

ΔABC Retângulo em A ΔDEF Acutângulo ΔMNP Obtusângulo em S
1 ângulo reto (=90°) 3 ângulos agudos(>0°;<90°) 1 ângulo obtuso (>90°;<180°)
4.2 – Congruência de triângulos
Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de modo que:

 Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro;
 Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

≈ Â≈Â
≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C
≈ ≈
 1º Caso: L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são congruentes.”


Exemplo:

≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // ≈

 2º Caso: A.L.A. (Ângulo – Lado - Ângulo)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a eles
adjacentes, então esses são congruentes.”
Exemplo:

≈ ≈
≈ ΔABC ≈ ΔA B C
 3º Caso: L.L.L. (Lado - Lado – Lado)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses são
triângulos são congruentes.”
Exemplo:

≈ // ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C

 4º Caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto)
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o
ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:


≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // Â≈Â

 5º Caso: Caso especial de congruência no triângulo retângulo.
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,
então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:



1) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. AB = 2x – 7 // AC= x + 5
Resposta: Como o triângulo é isósceles e, pela definição possui os lados
AB e AC iguais, podemos fazer:
2x – 7 = x + 5
2x – x = 7 + 5
x = 13 u.c

2) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. = 2x -10° // = 30º
Respostas: Sabendo que o triângulo isósceles possui os ângulos da
base com valor semelhante, temos: 2x – 10° = 30°  2x = 30° + 10°
2x = 40°  x = 20°

3)
Respostas: Como o triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, fazemos:
3x = 75
x = 25 cm

4)

a) b) c) d)

Resposta: a) LAL b)LLL c) LAA d) Caso especial de congruência no triângulo retângulo

4.2.2 – Observação – Desigualdades nos triângulos
a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não
são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
b) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não
são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

c) A desigualdade triangular

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois


4.3 – Pontos notáveis dos triângulos

4.3.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas)

As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto que
divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o
vértice é o dobro da outra.

4.3.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas)

As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto que está a
igual distância dos lados do triângulo.

OBS: O incentro é o centro da circunferência inscrita no ΔABC.

4.3.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes)

As mediatrizes de um triângulo concorrem para um mesmo ponto
que está a igual distância dos vértices do triângulo.

4.3.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas)

As três alturas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto.

Exercícios Resolvidos

1)

Respostas: a)V b)V c)V d)V e)F f)F g)F

2) Respostas: a) equilátero b) equilátero

c) retângulo d) obtusângulo

e) obtusângulo f) retângulo

h) acutângulo

4.4 – Semelhança de triângulos
 Definição

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em
pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Exemplo:

OBSERVAÇÕES:

 “Se dois triângulos possuem dois
ângulos ordenadamente congruentes, então
eles são semelhantes”


 Se dois lados de um triângulo são
proporcionais aos homólogos de
outro triângulo e os ângulo
compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes"
 “Se dois triângulo têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes”

4.5 – Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras

4.5.1 Diagonal do quadrado

Dado um quadrado de lado a, calcular sua diagonal d.
Sendo ABCD o quadrado de lado a, aplicando o
teorema de Pitágoras no ΔABC, temos?

d² = a² + a²  d² = 2 a²  d =

4.5.2 Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática,

mostrada a baixo, entre os três lados de qualquer

triângulo retângulo.

a² = b² + c²

Exercícios Resolvidos!

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos

rectângulos:

a) b)


Resolução

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

x² = 12² + 5²

x² = 144 + 25

x² = 169

x=

x = 13

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

7,5² = 4,5² + x²

56,25 = 20,25 + x²

x² = 56,25 – 20,25

x² = 36

x=

x=6

Exercícios

1) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABS é eqüilátero.

2) Se o perímetro de um triangulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, quanto
mede cada um dos outros lados?
3) Determine o valor de x nos casos:


4) Determine o valor de x nos casos:

5) Determine os valores de x e y nos casos:

6) Considerando congruentes os segmentos com “ marcas iguais”, determine os
valores das incógnitas nos casos:


5) PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

5.1) Paralelismo

Duas retas distintas r e s serão ditas paralelas (r//s) quando estiverem no mesmo
plano (coplanares) e não possuírem ponto de interseção, de maneira que, se colocarmos
uma em cima da outra, irão se tornar uma única reta (coincidentes). Veja, a seguir:


1) Se a reta r é paralela a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações
são verdadeiras ou falsas:
a) r e s se cortam
b) r e w se cortam
c) s e w se cortam
d) s é paralela a w
e) As três são paralelas entre si

Resposta: F, F, F, V, V

5.2) Perpendicularidade

Duas retas distintas r e s são ditas perpendiculares quando elas são concorrentes,
ou seja, cruzam-se e o ângulo de interseção é um ângulo reto (90º). Veja, a seguir:



2) Se a reta r é perpendicular a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes
afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) s e w são paralelas
b) r e s se cortam e o ângulo de interseção é 90º
c) s e w se cortam e o ângulo de interseção é 60º
d) r e w não se cortam
e) As três retas se cortam

Resposta: V, V, F, V, F

5.3) Teorema de Tales e Teoremas das Bissetrizes

5.3.1) Teorema de Tales

O Teorema de Tales afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe
de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são
proporcionais. Veja, a seguir:


De acordo com o teorema, teremos a seguinte proporção: o segmento AD está
para o segmento AB, assim como AE está para AC. De maneira que,


1) De acordo com a figura abaixo, calcule o valor de x:

De acordo com o teorema, teremos:

2) Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales
determine p valor de x.



5.3.2) Teorema das Bissetrizes

O Teorema das Bissetrizes é dividido em dois, o das internas e o das externas. O
primeiro diz que, em qualquer triângulo, a bissetriz de um triângulo interno estabelece
no seu lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse mesmo ângulo.

De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, teremos que o segmento AB está
para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:


1) Seja AG a bissetriz do ângulo CÂB, calcule AB:



2) Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do
ângulo BÂC.


3) Dado o triangulo ABC, descubra se AD é bissetriz:

Para AD ser bissetriz, é preciso que:

Logo, AD não é bissetriz.


O Teorema da Bissetriz Externa diz que sempre que a bissetriz de um ângulo
externo de certo triângulo cortar a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecido
nesta mesma reta dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

De acordo com o Teorema da Bissetriz Externa, teremos que o segmento AB
está para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:


4) Seja AE uma bissetriz externa, calcule o valor de BE:

De acordo com o teorema, teremos que:


Logo,

.

5) De acordo com o Teorema das Bissetrizes Externas, determine se o segmento
AD é uma bissetriz externa ou não.

Para que AD seja bissetriz externa, temos que:

5/10 = 3/6 -> 30 = 30

Logo, AD é bissetriz externa.

Exercícios Propostos

1) Seja a reta r perpendicular a s e também perpendicular a w, diga quais as
afirmações são verdadeiras e falsas:

a) r e s não se cortam

b) r e w não se cortam

c) w e s se cortam

d) O ângulo de interseção entre r e w é 90º

e) O ângulo de interseção entre s e w é 90º


2) Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As
divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a
rua "B" de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?

3) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas:

4) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua
B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3
para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2
para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?


5) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as medidas dos
lados AB e AC do triângulo.

6) Usando os Teoremas da Bissetriz Interna e Externa, determine o valor de x:

7) Num triângulo ABC, as medidas de AB e BC são, respectivamente, 20cm e
12cm. A bissetriz BP do ângulo B divide o lado AC em dois segmentos, sendo
um deles igual a 15cm. Qual a medida do outro segmento do lado AC?

8) Na figura abaixo, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa
do triangulo ABC. Se BQ = 8m e QC = 6m, então a medida QP, em metro é:


6-POLÍGONOS

A partir da definição de polígonos pode-se compreendê-los e identificá-los com mais
facilidade. Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha
poligonal fechada, onde os segmentos de retas são consecutivos e não-colineares. Dessa
forma são exemplos de polígonos as figuras abaixos:

E não são exemplo de polígonos, para n = 5, os dois casos abaixo:

Os polígonos são classificados de acordo com o número n de lados, recebendo a
seguinte denominação:
Número de lados Denominação Número de lados Denominação

n=3 Triângulo ou trilátero n=9 Eneágono

n=4 Quadrâgulo ou quadrilátero n = 10 Decágono

n= 5 Pentágono n = 11 Undecágono

n=6 Hexágono n = 12 Dodecágono

n=7 Heptágono n = 15 Pentadecágono


n=8 Octógono n = 20 Icoságono

POLÍGONO REGULAR
Um polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero e se possui os ângulos
congruentes é eqüiângulo.

DIAGONAL
É o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. No
exemplo abaixo ABCD é um quadrilátero e AB e CD são suas diagonais.

Para a compreensão de cálculo das diagonais, ângulos externos e internos, é necessário
entender as expressões abaixo, onde n é o número de lados do polígono:
Sendo d o número de diagonais de um polígono convexo, temos que:

Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, temos que:

Sendo Se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, tem-se:

Sendo Ai o ângulo interno de um polígono regular, temos que:

Cada ângulo externo de um polígono regular pode ser calculado através de:

Podemos dizer, então que: Ai + Ae = 180


Dica: Para se calcular a medida do ângulo interno (Ai) de um polígono regular é mais
prático se obter, em primeiro lugar, a medida do ângulo externo (Ae) e, pelo
suplemento, se encontra a medida do ângulo interno.

EXEMPLO RESOLVIDO:
Quantas diagonais podem ser traçadas em um polígono convexo de 15 lados?

Aplicando a fórmula acima tem-se:

E portanto, d = 90 diagonais.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1) Determine o ângulo interno e externo de um triângulo equilátero.
2) Determine o ângulo interno e externo de um quadrado.
3) Determine o ângulo interno e externo de um pentágono regular.
4) Determine o ângulo interno e externo de um hexágono regular.
5) Determine o valor de x no caso:

6) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.
7) Calcule o número de diagonais de um decágono.
8) Calcule o número de diagonais de um icoságono.
9) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
10) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de
lados.


GABARITO:
1) 60º e 120º
2) 90º e 90º
3) 108º e 72º
4) 120º e 60º
5) 70º
6) 3240º
7) 35
8) 170
9) Eneágono
10) Undecágono

7-QUADRILÁTEROS

Os quadriláteros são todos os polígonos que possuem 4 lados. Sejam A, B, C e D quatro
pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB,
BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro
segmentos é um quadrilátero. Observe as figuras abaixo:

Um quadrilátero possui duas diagonais (d = 2), a soma dos ângulos internos igual a 360°
e a soma dos ângulos externos também igual a 360°.
Os quadriláteros notáveis são os triângulos, paralelogramos, retângulo, losango e
quadrado.

TRAPÉZIO:

É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. ABCD é trapézio, sendo AB//CD
ou AD//BC. Os lados paralelos são as bases do trapézio.


Os trapézios são classificados em:
- Trapézio isósceles: é aquele que possui dois lados congruentes.
- Trapézio escaleno: é aquele que possui todos os lados com medidas diferentes.
- Trapézio retângulo: é aquele que possui dois ângulos retos.

Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD, temos:
Â+ = + = 180°
E para os trapézios isósceles os ângulos de cada base são congruentes e as diagonais
também são congruentes.
- AB e CD são as bases do trapézio isósceles, logo ≡ eÂ≡

- ABCD é trapézio de bases AB e CD e AD ≡ BC. Logo as diagonais são congruentes
AC ≡ BD.

PARALELOGRAMO:
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.


ABCD é paralelogramo e AB // CD e DA // BC.
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Assim, todo
retângulo é paralelogramo. Na figura, percebe-se que ≡Âe ≡ .

Em todo paralelogramos dois lados opostos quaisquer são congruentes. Logo, todo
losango é paralelogramo. Observe na figura abaixo, AD ≡ CB e AB ≡ CD.

Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
Observe na figura que AM ≡ CM e BM ≡ DM.

RETÂNGULO:
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro
ângulos congruentes. ABCD é um retângulo, logo Â ≡ ≡

Em todo retângulo as diagonais são congruentes. ABCD é um retângulo AC ≡ DA.


LOSANGO:
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados
congruentes. ABCD é um losango, portanto AB ≡ BC≡ CD ≡ DA.

Todo losango tem diagonais perpendiculares. ABCD é um losango, então AC┴ BD.

QUADRADO:
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro lados
congruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD é um quadrado, assim AB ≡ BC≡
CD ≡ DA e Â ≡ ≡ .

Todo quadrado é também retângulo e losango. ABCD é quadrado, logo AC ≡ DA e
AC┴ BD.


BASES MÉDIAS:
- Base média de um triângulo:
Num triângulo, a reta que contém o ponto médio de um lado e é paralela a outro lado,
divide o terceiro lado ao meio e é tal que o segmento compreendido pelos pontos
médios, é igual à metade do lado ao qual é paralelo.

Seja ABC o triângulo se MN // BC, AM ≡ MB e AN ≡ NC.

- Base média de um trapézio:
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio então ele é paralelo às bases e ele é igual a semi-soma das bases.

Seja ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD.

Se AM ≡ DM e BN ≡ CN, logo MN // AB // CD e

EXEMPLO RESOLVIDO:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):


a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é retângulo.
c) Todo quadrado é retângulo
d) Todo retângulo é quadrado.
e) Todo paralelogramo é losango.
f) Todo quadrado é losango.
Solução: a) V b) F c) V d) F e) F f) V
GABARITOS:

1) Determine o valor de x:



4) Se ABCD é trapézio de bases AB e CD, determine x e y.


5) Se o trapézio ABCD é isósceles de base AB e CD, determine Â.

6) Se ABCD é um paralelogramo e Â = 2x e = x + 70º, determine .

7) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F):
a) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado.
b) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes é losango.
c) Se um paralelogramo tem dois ângulos consecutivos congruentes, então ele é
um retângulo.
d) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um
paralelogramo.
a) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é paralelogramo.
b) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um
paralelogramo.
c) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então
ele é um paralelogramo.
a) As diagonais de um losango são congruentes.
b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
10) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base
excede a altura em 4 cm.

GABARITO:


1) 120º
2) 75º
3) 70º
4) 80º e 105º
5) 115º
6) 40º
7) a) F b) V c) V d) V
8) a) F b) F c) V
9) a) F b) F c) F
10) 12 cm e 8 cm

8 – Circunferência
8.1 Definições e elementos
Circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até certo ponto O é a
mesma para todos eles. Essa distância é indicada na figura ao lado como r.

Pontos internos à circunferência (lambda) são aqueles cuja distância até o centro O é
maior que r. Analogamente, pontos extenos são aqueles cuja distancia até o centro O é
menor que r. Os pontos indicados ao lado são: I (interno) e E (externo). Abaixo, a figura
mostra as regiões externa e interna à circunferência.

Devem-se definir alguns elementos da circunferência:
 Corda é um segmento interno cujas extremidades pertencem à circunferência. A
reta AB indicada na figura abaixo é uma corda.
 Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Ele mede sempre o dobro do raio r.
A reta CD indicada na figura é um diâmetro.


 Raio é um seguimento que tem como extremidades o centro O e um ponto
pertencente à circunferência. A reta OP indicada na figura é um raio.

 Arco de circunferência ou semicircunferência:
O arco AB representa a reunião do conjunto de pontos que
estão no exterior do ângulo AÔB. Podem ser traçados dois
arcos a partir dos pontos A e B da circunferência: o arco
maior AB e o arco menor AB. O ponto X indicado na
figura ao lado pertence ao arco maior AB.

 Círculo (ou disco) é o conjunto de pontos cuja distancia até o centro é menor que
a distancia r. A diferença entre círculo e circunferência é que a circunferência é
uma “linha”, já o círculo é uma “área”, um conjunto de pontos. Na figura ao
lado, são mostrados dois pontos que pertencem ao circulo.

 Setor circular é a região delimitada de um círculo por dois raios. Na
figura ao lado, os raios que delimitam os setores indicados são AO
e OB. Assim como nos arcos, podem-se delimitar dois setores com
os raios AO e OB: um setor com maior área e um com menor área.
A diferença em relação a um arco e um setor é semelhante à
diferença entre circunferencia e circulo: os primeiros representam
linhas, já setores e círculos representam áreas.

8.2 Posições relativas de reta e Circunferência
 Secantes:
Uma reta secante a uma circunferência é aquela que
intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Diz-
se que a reta e a circunferência são secantes. Ao lado, um
exemplo de reta secante AB à circunferência (lambda).


Propriedade da secante:

Se a secante intercepta a circunferência sem passar pelo ponto
O, e o ponto M é ponto médio da reta AB, então o segmento
OM é perpendicular à reta AB, ou à secante s. Além disso,
AM = MB.

 Tangentes:
Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que
intercepta a circunferência em apenas um ponto, o ponto de
tangencia. Na figura, este ponto é indicado como T. Ele é
comum à circunferência e à reta tangente t. Diz-se que a
circunferência (lambda) e a reta t são tangentes.

Propriedade da tangente:

Se T é ponto de tangência entre a circunferência e a reta t,
então o raio OT é perpendicular à reta t. Analogamente, para
um certo raio OT, a reta que tangencia a circunferência no
ponto T é perpendicular a este raio.

 Exteriores:
Uma reta exterior a uma circunferência é aquela que não
intercepta a circunferência em nenhum ponto. Não há
interseções de pontos entre a reta e a tangente. Diz-se que a reta
e indicada na figura é exterior à circunferência (lambda).

8.3 Posições relativas de duas Circunferências
Definições:


 Interna: uma circunferência é interna a outra quanto todos
os seus pontos são internos à outra. Não á nenhum interseção
entre elas.

 Tangente interna: uma circunferência é tangente interna à
outra se têm um único ponto de interseção e o resto dos pontos
de uma são internos em relação à outra

 Secante: uma circunferência é secante a outra se elas
tem dois pontos distintos em comum.

 Tangente externa: uma circunferência é tangente externa
à outra se têm um único ponto de interseção e o resto
dos pontos de uma são externos em relação à outra.

 Externa: uma circunferência é externa a outra se todos os pontos
de uma são externos a outra. Não há interseção entre elas.

8.4 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis

 Se de um ponto P traçarmos duas retas tangentes à
circunferência (lambda), então os dois segmentos pertencentes
a essa retas (PA e PB) são iguais. PA = PB.


 Quando um quadrilátero convexo é circunscrito a uma
circunferência, isso indica que todos os lados desse quadrilátero
são tangentes à circunferência. Além disso,

vale a seguinte relação:

1) A circunferência ao lado tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7
cm do centro. Determine a distância entre P e a circunferência.

2) As circunferências da figura ao lado são tangentes
externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a
diferença entre os raios é de 8 cm, determine os raios.

3) Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos
raios é 30 cm. Se a distancia entre os centros é de 6 cm,
determine os raios.

4) Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os
centros são os vértices do trianculgo ABC. Sendo AB = 7
cm, AC = 5 cm e BC = 6 cm, determine os raios das
circunferências.


5) Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a
circunferência de centro O está inscrita no triangulo ABD, e que os
lados AB, BC e AC medem respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm.

6) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritivel, da
figura.

7) Determine a medida do diâmetro de um circulo inscrito emum triangulo
retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.

8.5 Ângulos da circunferência

 Circunferencias congruentes: são aquelas que tem o mesmo raio.

 Arcos congruentes: Dois arcos AB e CD são congruentes
se, e somente se, os arcos CÔD e AÔB forem congruentes.

 Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o
vértice no centro O da circunferência e extremidades na linha da
mesma. AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB.

OBS.: Para simplificar, chamaremos o ângulo AÔB de (beta).

 Ângulo inscrito a uma circunferência é aquele ângulo que possui vértice (V) e
extremidades (A e B) pertencentes à circunferência, como mostra a figura.


PROPRIEDADE 1:
alfa = beta/2

PROPRIEDADE 2:
Se o arco do ângulo inscrito for 180º, isso implica que o ângulo
inscrito terá valor 90º. Daí, O triangulo formado pelas
extremidades e pelo vértice do ângulo é um triangulo retângulo.

PROPRIEDADE 3:
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência,
isso implica que os anglos opostos são complementares (somam
180º).

 Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito a uma circunferência é
um ângulo que tem vértice na circunferência (ponto A), um lado
secante (linha t) e o outro lado tangente à circunferência (linha AB).,
como indicado na figura ao lado.

PROPRIEDADE 1: Medida do ângulo de segmento

PROPRIEDADE 2: Arco capaz

Seja AÔB um ângulo central (beta) = 2(alfa). Os
vértices dos ângulos inscritos ou semi-inscritos
relativos à circunferência que tem lados passando por
A e B formarão ângulos (alfa), que medem a metade
do ângulo central (beta).


PROPRIEDADE 3: Ângulos excêntricos

Em caso de excentricidade interior,

Em caso de excentricidade exterior,
há três possíveis casos. Em
qualquer um deles,

1) Determine o valor do ângulo x nos casos:


2) Determine o valor do arco x nos casos:

3) Na figura, o arco CMD é igual a 100º e o arco
ANB mede 30º. Calcule o valor de x.

4) Determine a medida do ângulo α, sabendo que, na
figura abaixo, CD = R.

5) Calcule x nas figuras:


6) Nas figuras, calcule o valor de x.

7) N
a
s

f
i
g
u
r
as, calcule o valor de α.

8) Nas figuras, calcule o valor do arco ABC.

9) Nas figuras, calcule x.

10) Na figura ao lado, sendo ABC =
260º, calcule o valor de α.


8.6 – Comprimento da circunferência
 Depois de vários estudos sobre o comprimento da circunferência, chegou-se a
um resultado:

Percebeu-se que o comprimento da uma cirunferencia é diretamente
proporcional ao dobro do raio, e que a constante de proporcionalidade é (PI).

 Proporcionalidade entre secções circulares:

Pode-se calcular o comprimento l (menor que o comprimento total C) através da
medida do ângulo central referente a ele e do comprimento do raio R da
circunferência.



1) Determine o comprimento da circunferência nos casos:

2) Determine o comprimento do arco menor AB, dado o raio de 90 cm e o
ângulo central correspondente, nos casos:

3) Determine o comprimento da linha cheia nos casos (os arcos são
centrados em O1, O2, e O3)


4) Determine o perímetro da figura sombreada:
(a) Os arcos tem raios de 12 cm e são centrados em
A, B e C.

(b) ABCD é um quadrado de 48 cm de lado e os
arcos são centrados em A, B, C e D.


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