Mat equacoes do 1 grau 001

Equações do 1º grau
(Parte 1)

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página
Igualdade .................................................................................................................................... 1
Propriedades da igualdade................................................................................................... 2
Propriedade reflexiva ...................................................................................................... 2
Propriedade simétrica ...................................................................................................... 2
Propriedade transitiva...................................................................................................... 2
Princípios de equivalência................................................................................................... 3
Princípio aditivo .............................................................................................................. 3
Princípio multiplicativo................................................................................................... 3
Conhecendo as equações............................................................................................................ 4
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 6

1

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma
sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em
linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil
da Matemática.

Igualdade

A maioria das sentenças usadas em Matemática faz afirmações sobre números.
Nas sentenças matemáticas, os verbos são normalmente representados pelos
símbolos = (igual), ≠ (diferente), < (menor que) e > (maior que).
Uma sentença matemática onde se use o símbolo = representa uma igualdade

Exemplos:
a) 2 + 5 = 7 a soma de dois e cinco é igual a sete
b) 23 − 5 = 3 o cubo de dois diminuído de cinco é igual a três
c) 32 + 42 = 52 a soma dos quadrados de três e de quatro é igual ao quadrado
de cinco

De um modo geral, podemos representar uma igualdade por a = b, onde a e b
são nomes diferentes para um mesmo número.

2+5=7
{ { 23 − 5 = 3
13 {
2 32 23 = 5 2
1+ 4
2
{
a b a b a b

Em uma igualdade:
• A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada
1º membro de igualdade.
• A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada
2º membro de igualdade.

Assim:

2+5 =
{ 7
{ 23 − 5 =
13
2 3
{ 32 23 =
1+ 4
2
52
{
1o membro 2 o membro 1o membro 2 o membro 1o membro 2 o membro

2

Propriedades da igualdade
Uma igualdade apresenta as seguintes propriedades:

Propriedade reflexiva

2=2
2 2 a = a , para qualquer número racional a
=
3 3

Propriedade simétrica

2+5=7⇒7= 2+5
23 − 5 = 3 ⇒ 3 = 23 − 5 a = b ⇒ b = a , para quaisquer a e b
32 + 4 2 = 5 2 ⇒ 5 2 = 32 + 4 2

Propriedade transitiva

2 + 5 = 7 e 7 = 8 −1⇒ 2 + 5 = 8 −1
a=b e b=c⇒a=c
23 − 5 = 3 e 3 = 2 + 20 ⇒ 23 − 5 = 2 + 20
para quaisquer a, b e c
32 + 4 2 = 5 2 e 5 2 = 25 ⇒ 32 + 4 2 = 25

3

Princípios de equivalência
Os princípios de equivalência de uma igualdade serão muito úteis na resolução
de equações.

Princípio aditivo

Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos
uma nova igualdade, ou seja:
a=b⇒a+c=b+c

Exemplos:

a) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) + 2 = (8) + 2 adicionamos + 2 aos dois membros
1 24
4 3 1 3 2
10 10

b) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) − 2 = (8) − 2 adicionamos − 2 aos dois membros
1 24
4 3 1 3 2
6 6

Princípio multiplicativo

Multiplicando os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número,
diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja:
a = b ⇒ a⋅c = b⋅c

Exemplos:

a) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) ⋅ 2 = (8) ⋅ 2 multiplicamos os dois membros por 2
1 24 1 3
4 3 2
16 16

1 1 1
b) 5 + 3 = 8 ⇒ (5 + 3) ⋅ = (8) ⋅ multiplicamos os dois membros por
1 242 1 3
4 3 22 2
4 4

4

Conhecendo as equações
Durante muito tempo, as situações problema foram resolvidas com o uso de
palavras e desenhos. O uso de letras para representar os números desconhecidos
trouxe enormes progressos para a Matemática, facilitando a resolução de
problemas.

Observe a seguinte situação:

1) Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou 100 cm) em dois pedaços. Um dos
pedaços tem um comprimento igual ao triplo do outro. Calcular os
comprimentos dos dois pedaços.

Resolução: Devemos encontrar dois números que representem, em centímetros,
os comprimentos dos pedaços em que a tábua foi serrada. Como um dos pedaços
tem o triplo do outro, vamos indicar o comprimento do menor braço pela letra y
e o comprimento do maior pedaço por 3y.

Podemos fazer um esboço gráfico usando a letra y:

Pelo esboço gráfico, podemos escrever a sentença matemática:

y = 25
Portanto, um pedaço deverá ter 25 cm
de comprimento e o outro 75 cm.

Note que formamos uma sentença matemática representada por uma igualdade,
em que usamos a letra y para representar o número desconhecido dessa sentença.
Essa sentença matemática que escrevemos é chamada de equação.

Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou
mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença, é
denominada equação. Cada letra que representa um número desconhecido
chama-se incógnita.

Na situação estudada a letra y é a incógnita da equação. A palavra incógnita
significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e
significa igual.

5

Exemplos:
a) A sentença matemática 2 x + 1 = 19 é uma equação com uma incógnita
representada pela letra x.

b) A sentença matemática x − y = 20 é uma equação com duas incógnitas
representadas pelas letras x e y.

c) A sentença 5m + 2 = 2m − 19 é uma equação com uma incógnita representada
pela letra m.

Como toda equação é uma igualdade, temos:

y + 3 y = 100
{
1 3
2 o
1o membro 2 membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da
equação.

Podemos ver que toda equação tem:

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas
variáveis ou incógnitas;

• Um sinal de igualdade, denotado por =;

• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou
membro da esquerda;

• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou
membro da direita.

Observação: Não são equações as sentenças matemáticas:

• 32 + 1 = 2 + 23 → embora seja uma igualdade, não apresenta elemento
desconhecido

• x + 3 < 20 → embora apresente elemento desconhecido, não representa uma
igualdade

6

Referências bibliográficas
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora
FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[4] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.

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