Lista exercicios 2 calculo 2
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1. O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo integral e suas aplicações com 13 questões contendo vários itens cada. Os exercícios envolvem cálculo de áreas, volumes de revolução, deslocamentos, trabalhos e comprimentos de arcos.
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DISCIPLINA: C´alculo Diferencial e Integral II E
CURSO: Engenharia de Alimentos
PROFESSOR: Leonardo Araujo
2a
Lista de exerc´ıcios: Integral definida e aplica¸c˜oes
1. Calcule
a)
−1
−2
1
x2
+ x dx
b)
π
2
−π
3
cos 2xdx
c)
1
−1
e2x
dx
d)
1
0
(x + 1)2
dx
e)
3
−1
√
2x + 3dx
f)
π
2
0
2e2x
+ cos x
e2x + sin x
dx
g)
2
1
1 + 3x2
x
dx
h)
e4
2
dx
x
√
ln x
i)
1
0
x2
√
x6 + 4
dx
j)
4
2
x ln(
√
x)dx
k)
1
0
3x
ex
dx
l)
π
0
3x
cos(x)dx
m)
π
3
0
sec3
(x)dx
n)
ln 3
0
et
√
9 − e2tdt
2. O n´umero µ =
1
b − a
b
a
f(x)dx ´e chamado valor m´edio da fun¸c˜ao f no intervalo [a, b].
Calcule o valor m´edio das fun¸c˜oes nos intervalos indicados:
a) f(x) = sin2
x, [0, π]
b) f(x) = ln x, [1, 2]
3. Seja G(x) =
α(x)
a
f(t)dt. Determine
dG
dx
em cada caso:
a) f(t) =
√
t2 − 4, a = 3 e α(x) = x2
b) f(t) = sen(2t), a = 0 e α(x) =
√
x
c) f(t) =
1
3
√
t + 1
, a = 1 e α(x) = sen(x2
)
4. Diga qual das integrais ´e maior, sem calcul´a-las:
a)
1
0
√
1 + x2dx ou
1
0
xdx
b)
2
1
ex2
dx ou
2
1
ex
dx
5. Calcule
π
−π
f(x)dx, onde f(x) =
senx, x ≤ 0
1 − cosx, x > 0
.
6. Calcule a ´area sob o gr´afico de y = f(x) entre x = a e x = b, esbo¸cando cada regi˜ao,
se:
1](https://image.slidesharecdn.com/listaexercicios2calculo2-160318040524/85/Lista-exercicios-2-calculo-2-1-320.jpg)
Lista exercicios 2 calculo 2
- 1. 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DISCIPLINA: C´alculo Diferencial e Integral II E CURSO: Engenharia de Alimentos PROFESSOR: Leonardo Araujo 2a Lista de exerc´ıcios: Integral definida e aplica¸c˜oes 1. Calcule a) −1 −2 1 x2 + x dx b) π 2 −π 3 cos 2xdx c) 1 −1 e2x dx d) 1 0 (x + 1)2 dx e) 3 −1 √ 2x + 3dx f) π 2 0 2e2x + cos x e2x + sin x dx g) 2 1 1 + 3x2 x dx h) e4 2 dx x √ ln x i) 1 0 x2 √ x6 + 4 dx j) 4 2 x ln( √ x)dx k) 1 0 3x ex dx l) π 0 3x cos(x)dx m) π 3 0 sec3 (x)dx n) ln 3 0 et √ 9 − e2tdt 2. O n´umero µ = 1 b − a b a f(x)dx ´e chamado valor m´edio da fun¸c˜ao f no intervalo [a, b]. Calcule o valor m´edio das fun¸c˜oes nos intervalos indicados: a) f(x) = sin2 x, [0, π] b) f(x) = ln x, [1, 2] 3. Seja G(x) = α(x) a f(t)dt. Determine dG dx em cada caso: a) f(t) = √ t2 − 4, a = 3 e α(x) = x2 b) f(t) = sen(2t), a = 0 e α(x) = √ x c) f(t) = 1 3 √ t + 1 , a = 1 e α(x) = sen(x2 ) 4. Diga qual das integrais ´e maior, sem calcul´a-las: a) 1 0 √ 1 + x2dx ou 1 0 xdx b) 2 1 ex2 dx ou 2 1 ex dx 5. Calcule π −π f(x)dx, onde f(x) = senx, x ≤ 0 1 − cosx, x > 0 . 6. Calcule a ´area sob o gr´afico de y = f(x) entre x = a e x = b, esbo¸cando cada regi˜ao, se: 1
- 2. 2 a) f(x) = 1 − x2 , x = −1, x = 1 b) f(x) = x3 − x, x = −1, x = 1 c) f(x) = ln(x), x = 1, x = e d) f(x) = 2 √ x − 1, x = 1, x = 10 7. Calcule a ´area das regi˜oes limitadas pelas seguintes curvas: a) y = x2 , y = 2x + 5 4 b) y = sin(x), y = cos(x), x = 0, x = π 2 c) y3 = x, y = x d) y = |x|, y = (x + 1)2 − 7, x = −4 8. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t − 3, t ≥ 0. a) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 3. b) Qual o espa¸co percorrido entre os instantes t = 1 e t = 3. c) Descreva o moviento realizado pela part´ıcula entre os instantes t = 1 e t = 3. 9. Uma part´ıcula move-se ao longo do eixo dos x do ponto a at´e o ponto b sob a a¸c˜ao de uma for¸ca f(x) dada. Determine o trabalho realizado, sendo: a) f(x) = x3 + 2x2 + 6x − 1; a = 1, b = 2 b) f(x) = x (1 + x2)2 ; a = 1, b = 2 c) f(x) = x2 sen(x); a = 0, b = π 2 d) f(x) = sin(x) + cos(x); a = 0, b = π 10. Determine o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao, em torno do eixo dos x, da regi˜ao limitada pelas seguintes curvas: a) 1 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ √ x b) x2 ≤ y ≤ x c) y = cos(2x), 0 ≤ x ≤ π d) y = cos(x), y = sin(x), x = 0, x = π 4 11. Determine o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao, em torno do eixo dos y, da regi˜ao limitada pelas seguintes curvas: a) 1 ≤ x ≤ e; 0 ≤ y ≤ ln x b) 1 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ x2 − 1 c) 9x2 + 16y2 = 144 d) y = x2 + 1, x = 0, x = 2 12. Calcule a ´area da superf´ıcie gerada pela rota¸c˜ao, em torno do eixo dos x, do gr´afico da fun¸c˜ao a) f(x) = ex + e−x 2 ; −1 ≤ x ≤ 1 b) f(x) = √ R2 − x2; −R ≤ x ≤ R (R > 0) 13. Calcule o comprimento do arco da fun¸c˜ao dada a) y = 2 3 x 3 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 b) y = ln x; 1 ≤ x ≤ e 2