Exercicios prismas
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1) O documento apresenta 15 exercícios resolvidos sobre volumes de prismas, cubos e paralelepípedos. As soluções envolvem cálculos de áreas, perímetros e aplicação de fórmulas geométricas. 2) Os exercícios abordam temas como volumes de sólidos com bases regulares e irregulares, cálculo de áreas laterais, relação entre dimensões em paralelepípedos e quantidade de tinta necessária para pintura. 3) As soluções apresentam os cálculos detalhados e
![6) As dimensões a, b e c de um paralelogramo são proporcionais aos números 2,4 e 7. Determine essas dimensões
sabendo que a área total desse sólido é de 900cm².
Solução. A área total é calculada como At = 2 x (ab + ac + bc). Logo, temos:
)(3
3
9
100
900
900100
900
100)]28148(2)7).(4()7).(2()4).(2[(2
22
2222
inválidak
k
kkk
A
kkkkkkkkkkA
l
T
Logo, a = 2(3) = 6cm; b = 4(3) = 12cm e c = 7(3) = 21cm.
7) Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da
tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do
armário.
Solução. Calculando a área total, temos:
2
5,26)]4).(5,2()4).(5,0()5,2).(5,0[(2 mAT .
Logo, empregando 5m2
por litro, serão gastos
litrom
m
/5
5,26
2
2
5,3 litros.
8) A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de
comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para
o piso da garagem.
Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,20m. Esse piso
entrará em cada box. O volume de cada piso é V= (3,5) x (5) x (0,20) = 3,5m3
. O volume total utilizado nos 18
boxes será V = (18) x (3,5) = 63m3
.
9) Dispondo-se de uma folha de cartolina, de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode – se construir uma
caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada lado. Determine o volume desta caixa.
Solução. O desenho mostra a parte retirada de cada lado e a caixa construída na forma de um paralelepípedo.
O volume será V = (54) x (34) x (8) = 14688cm3
.
10) Em um paralelepípedo retângulo, de 15 cm de altura o comprimento da base mede o dobro da largura. Sabendo
que a área total desse sólido mede 424cm², calcule as dimensões da base.
Solução. Substituindo os valores temos:
)0(4
4
6145
4
6145
4
372145
4
1696132545
)2(2
)212)(4(4)45(45
02124520424904
424
904)15302(2)]15).(()15).(2()).(2[(2
2
22
22
xxx
x
xxxx
A
xxxxxxxxxA
l
T
Logo, as dimensões são 4cm e 2 x (4cm) = 8cm.](https://image.slidesharecdn.com/exerciciosprismas-160509090618/85/Exercicios-prismas-2-320.jpg)
![11) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo de lados 0,8m por 1,2m e esta parcialmente
cheio de água. Um objeto maciço, de formato indeterminado, ao ser mergulhado completamente no tanque, faz o nível
da água subir 7,5cm. Determine, em m³, o volume desse objeto.
Solução. Comparando os volumes observamos que o
aumento na altura de 7,5cm = 0,075m deve-se ao
objeto mergulhado. A diferença entre os volumes antes
de após o mergulho refere-se ao volume do objeto.
i) Volume inicial: hhVi 96,0)).(8,0).(2,1(
ii) Volume final: 072,096,0)075,0).(8,0).(2,1( hhVf
iii) Volume do objeto:
3
072,096,0072,096,0 mhhVV if
12) Uma caixa de fósforos tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm. Na caixa
há em média, 40 palitos.
a) Qual é, aproximadamente, o volume ocupado por um palito de fósforos? (R: 432mm³)
b) Quantos cm² de papel serão necessários para forrar todas as faces internas da caixa (sem a tampa)? (R: 32,88 cm²)
Solução.
a) O volume da caixa é calculado pelo produto
33
1728028,17)2,1)(2,3)(5,4( mmcmV . Como cabem 40
palitos, cada palito possui
3
432
40
17280
mmV .
b) Forrar a caixa sem a tampa é calcular a área total sem a base superior. Temos:
2
88,32)]2,1).(2,3()2,1).(5,4[(2)2,3).(5,4( cmAT
13) À razão de 25 litros de água por minuto, quanto tempo será necessário para o enchimento de uma piscina de 7m de
comprimento, 4m de largura e 1,5m de profundidade?
Solução. O volume total da piscina é de )(420004200042)5,1)(4)(7( 33
litrosdmmV . Se em 1 minuto
caem 25 litros de água, 42000 litros cairão em horast 28min1680
25
42000
14) Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma quadrangular reto de 12cm de altura. A base tem a forma de um
trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5cm e 1,5cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2cm.
Qual o volume do chocolate?
Solução. O volume será igual ao produto área da base pela altura.
i) Área do trapézio: É necessário calcular a altura do trapézio.
Pelo desenho temos: 93,125,04)5,0(2 22
h . Logo
a área é:
2
86,393,1
2
5,15,2
cmAb
ii) O volume do chocolate será:
3
32,46)12)(86,3( cmV
15) Calcule o volume de um prisma quadrangular regular de 25cm² de base sabendo que a medida de sua altura é igual
ao dobro da medida da aresta da base.
Solução. Se o prisma é quadrangular regular então suas bases são quadradas. Se a área da base vale 25cm2
,
então a aresta da base será 5cm. Logo a altura será o dobro. Isto é 10cm. O volume será o produto da área da
base pela altura: V = 25 x 10 = 250cm3
.](https://image.slidesharecdn.com/exerciciosprismas-160509090618/85/Exercicios-prismas-3-320.jpg)
Exercicios prismas
- 1. LISTA DE EXERCÍCIOS: PRISMAS - GABARITO 1) Calcule o volume de um cubo que tem 10cm de aresta. Solução. O cubo possui todas as dimensõescom mesma medida. Seu volume é calculado pela fórmula: V = a3 . Logo V = (10)3 = 1000cm3 . 2) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base mede 4cm. Determine sua área lateral. Solução. A área lateral é a soma das cinco áreas dos retângulos que são as faces laterais. Como a base é regular, todas as arestas possuem a mesma medida. Logo, temos: i) Área de uma face: 4 x 20 = 80cm2 ii) Área lateral: 5 x (80cm2 ) = 400cm2 . 3) Um prisma quadrangular regular tem sua aresta da base medindo 6m. Sabendo que a área lateral do prisma mede 216m², calcule sua altura. Solução. Se o prisma é regular então suas bases são quadradas. A área lateral é a soma das áreas das quatro faces. Temos: mhh A hhA l l 9 24 216 21624 216 24)6(4 4) Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura do prisma é igual a 3 1 do perímetro da base, calcule sua superfície total. Solução. No triângulo isósceles a altura também é mediana. i) Pela relação de Pitágoras temos: cma 52543 22 ii) O perímetro da base vale: 5cm + 5cm + 8cm = 18cm iii) A altura do prisma vale cmcm 6)18( 3 1 iv) Área total: 2 2 2 132122108 12 2 38 108)65(2)68( cmA cmA cmA T b l 5) Calcule a área total de um prisma reto, de 10 cm de altura, cuja base é um hexágono regular de 6cm de lado. Solução. A área total de um hexágono regular vale o sêxtuplo da área do triângulo eqüilátero. Temos: 2 2 547360)5,93(2 360)106(6 5,93354 4 36 6 cmA A A T l b . COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br
- 2. 6) As dimensões a, b e c de um paralelogramo são proporcionais aos números 2,4 e 7. Determine essas dimensões sabendo que a área total desse sólido é de 900cm². Solução. A área total é calculada como At = 2 x (ab + ac + bc). Logo, temos: )(3 3 9 100 900 900100 900 100)]28148(2)7).(4()7).(2()4).(2[(2 22 2222 inválidak k kkk A kkkkkkkkkkA l T Logo, a = 2(3) = 6cm; b = 4(3) = 12cm e c = 7(3) = 21cm. 7) Um armário, com a forma de um paralelepípedo de dimensões 0,5m, 2,5m e 4m, deve ser pintado. O rendimento da tinta empregada é de 5m² por litro. Determine a quantidade de tinta necessária para pintar toda a parte interna do armário. Solução. Calculando a área total, temos: 2 5,26)]4).(5,2()4).(5,0()5,2).(5,0[(2 mAT . Logo, empregando 5m2 por litro, serão gastos litrom m /5 5,26 2 2 5,3 litros. 8) A garagem subterrânea de um edifício tem 18 boxes retangulares, cada um com 3,5m de largura e 5m de comprimento. O piso da garagem é de concreto e tem 20cm de espessura. Calcule o volume de concreto utilizado para o piso da garagem. Solução. O piso terá a forma de um paralelepípedo muito fino, já que sua espessura é de 0,20m. Esse piso entrará em cada box. O volume de cada piso é V= (3,5) x (5) x (0,20) = 3,5m3 . O volume total utilizado nos 18 boxes será V = (18) x (3,5) = 63m3 . 9) Dispondo-se de uma folha de cartolina, de 70cm de comprimento por 50cm de largura, pode – se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada lado. Determine o volume desta caixa. Solução. O desenho mostra a parte retirada de cada lado e a caixa construída na forma de um paralelepípedo. O volume será V = (54) x (34) x (8) = 14688cm3 . 10) Em um paralelepípedo retângulo, de 15 cm de altura o comprimento da base mede o dobro da largura. Sabendo que a área total desse sólido mede 424cm², calcule as dimensões da base. Solução. Substituindo os valores temos: )0(4 4 6145 4 6145 4 372145 4 1696132545 )2(2 )212)(4(4)45(45 02124520424904 424 904)15302(2)]15).(()15).(2()).(2[(2 2 22 22 xxx x xxxx A xxxxxxxxxA l T Logo, as dimensões são 4cm e 2 x (4cm) = 8cm.
- 3. 11) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo de lados 0,8m por 1,2m e esta parcialmente cheio de água. Um objeto maciço, de formato indeterminado, ao ser mergulhado completamente no tanque, faz o nível da água subir 7,5cm. Determine, em m³, o volume desse objeto. Solução. Comparando os volumes observamos que o aumento na altura de 7,5cm = 0,075m deve-se ao objeto mergulhado. A diferença entre os volumes antes de após o mergulho refere-se ao volume do objeto. i) Volume inicial: hhVi 96,0)).(8,0).(2,1( ii) Volume final: 072,096,0)075,0).(8,0).(2,1( hhVf iii) Volume do objeto: 3 072,096,0072,096,0 mhhVV if 12) Uma caixa de fósforos tem a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4,5cm, 3,2cm e 1,2cm. Na caixa há em média, 40 palitos. a) Qual é, aproximadamente, o volume ocupado por um palito de fósforos? (R: 432mm³) b) Quantos cm² de papel serão necessários para forrar todas as faces internas da caixa (sem a tampa)? (R: 32,88 cm²) Solução. a) O volume da caixa é calculado pelo produto 33 1728028,17)2,1)(2,3)(5,4( mmcmV . Como cabem 40 palitos, cada palito possui 3 432 40 17280 mmV . b) Forrar a caixa sem a tampa é calcular a área total sem a base superior. Temos: 2 88,32)]2,1).(2,3()2,1).(5,4[(2)2,3).(5,4( cmAT 13) À razão de 25 litros de água por minuto, quanto tempo será necessário para o enchimento de uma piscina de 7m de comprimento, 4m de largura e 1,5m de profundidade? Solução. O volume total da piscina é de )(420004200042)5,1)(4)(7( 33 litrosdmmV . Se em 1 minuto caem 25 litros de água, 42000 litros cairão em horast 28min1680 25 42000 14) Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma quadrangular reto de 12cm de altura. A base tem a forma de um trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5cm e 1,5cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2cm. Qual o volume do chocolate? Solução. O volume será igual ao produto área da base pela altura. i) Área do trapézio: É necessário calcular a altura do trapézio. Pelo desenho temos: 93,125,04)5,0(2 22 h . Logo a área é: 2 86,393,1 2 5,15,2 cmAb ii) O volume do chocolate será: 3 32,46)12)(86,3( cmV 15) Calcule o volume de um prisma quadrangular regular de 25cm² de base sabendo que a medida de sua altura é igual ao dobro da medida da aresta da base. Solução. Se o prisma é quadrangular regular então suas bases são quadradas. Se a área da base vale 25cm2 , então a aresta da base será 5cm. Logo a altura será o dobro. Isto é 10cm. O volume será o produto da área da base pela altura: V = 25 x 10 = 250cm3 .