Algebra Linear cap 05
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Este documento apresenta três frases: 1) Define matriz mudança de base como representando as coordenadas de vetores de uma base em relação a outra. 2) Explica que a matriz mudança de base relaciona as coordenadas dos vetores de uma base quando escritos como combinação linear dos vetores da outra base. 3) Apresenta três teoremas sobre propriedades das matrizes mudança de base e exemplos ilustrando seu cálculo e aplicação.
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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 5
MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e
}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear
da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que:
+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111
va...vavau
..................................
va...vavau
va...vavau
:S 2
. A matriz
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P é
chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por
B
C]M[P = .
OBS: Na matriz mudança de base
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja,
=
=
=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1
a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[ . A matriz mudança de base é sempre
inversível.
Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2
. Determine a
matriz de mudança da base B para a base C.
Solução: Para determinar
B
C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação
linear da base B. Então:
+=−−
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(
:S . Vamos obter dois sistemas](https://image.slidesharecdn.com/alcap05-130507185749-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-05-1-320.jpg)
![43
lineares:
=
+=
a2
ba1
e
=−
+=−
c3
dc4
. Resolvendo os sistemas vamos obter
−−
−
=
==
11
32
db
ca
]M[P B
C . Note que, na combinação linear S os escalares
estão em linha e na matriz P eles estão em colunas.
Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz
de mudança da base B para C. Então:
a) BPC t
⋅=
b) C]P[B 1t
⋅= −
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e
C
D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D.
Então, a matriz de mudança de B para D é
C
D
B
C ]M[]M[QP ⋅=⋅ .
Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja
B
C]M[P = a matriz de
mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então:
a) B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
b) CB ]v[P]v[ ⋅=
Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e
=
10
22
P a matriz mudança da
base B para a base C. Determine a base B.
Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t
⋅= −
. Então,
−
=−
11
0
)P( 2
1
1t
e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim:
=
⋅
−
=
10
01
12
02
11
0
B 2
1
, ou seja, a base B é a
base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .](https://image.slidesharecdn.com/alcap05-130507185749-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-05-2-320.jpg)
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É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema
usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores
da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:
+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2
)tbb(0)taa(22
1o1o
1o1o
⇒
+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12
ta2a2t02
11oo
1o
⇒
=⇒=
=⇒=
0aa20
1aa22
11
o0
e
=⇒+=
=⇒+=
1bba21
0bba22
111
oo0
. Portanto, a base }t,1{B = .
Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do
2
ℜ e
=
3
5
3
1
3
2
3
1
P a matriz de mudança
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a
base C.
Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B
1
C ]v[P]v[ ⋅= −
. Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒
+=
−=
ba23
ba2
⇒
−
=
=
3
1
3
5
B
b
a
]v[ e
−
−
=−
11
25
P 1
. Assim:
−
⋅
−
−
=
3
1
3
5
C
11
25
]v[ ⇒
−
=
2
9
]v[ C
Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da
matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a
base )}d,c(),b,a{(C = . Então:
−=−+=
=−+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
3
5
3
2
3
1
3
1
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒
β+α=
β−=
33
2
⇒
−
=
2
9
]v[ C](https://image.slidesharecdn.com/alcap05-130507185749-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-05-3-320.jpg)
![45
Exercícios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2
. Seja
−
=
31
02
Q a
matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a
base D. Quem é a base D?
Resp:
−
=
64
35
]M[ B
D e )}6,9(),4,1{(D −=
2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2
+−+−= para a base
}t3,tt2,t1{C 22
++−+= . Resp:
−
−−
==
2
1
2
1
4
7
4
13
B
C
0
021
1
]M[P
3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e
−
=
85
32
A . Sabendo que a matriz de
mudança da B para a base C é
−
−
=
1100
0110
0012
0001
P , determine as coordenadas de A em
relação a base C. Quem é a base C?
Resp:
−
−
=
4
12
7
2
]A[ C e
−
−
=
10
00
,
11
00
,
01
10
,
00
21
C
4) No
3
ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte
forma:
++=
++=
+=
3213
3212
311
ee2eg
eee2g
eeg
. Sabendo que
−
−
=
1
5
2
]v[ B são as coordenadas do vetor v em
relação a base B, determine C]v[ . Resp:
−
−
=
3
1
3
]v[ c
5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz
de mudança da base B para a base C pode ser determinada por
t1B
C ]BC[]M[P −
⋅== .](https://image.slidesharecdn.com/alcap05-130507185749-phpapp02/85/Algebra-Linear-cap-05-4-320.jpg)
Algebra Linear cap 05
- 1. 42 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 5 MATRIZ MUDANÇA DE BASE Definição: Seja V um espaço vetorial e consideremos duas de suas bases }v,...,v,v{B n21= e }u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então existem escalares Kaij ∈ , tais que: +++= +++= +++= nnn2n21n1n n2n222112 n1n2211111 va...vavau .................................. va...vavau va...vavau :S 2 . A matriz = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P é chamada de Matriz mudança da base B para C, e denotada por B C]M[P = . OBS: Na matriz mudança de base = nn2n1n n22221 n11211 a...aa ............ a...aa a...aa P , as colunas representam as coordenadas de cada vetor da base C em relação a base B , ou seja, = = = nn n2 n1 Bn 2n 22 12 B2 1n 21 11 B1 a ... a a ]u[,..., a ... a a ]u[, a ... a a ]u[ . A matriz mudança de base é sempre inversível. Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C −−= duas bases do ℜ2 . Determine a matriz de mudança da base B para a base C. Solução: Para determinar B C]M[P = , temos que escrever os vetores da base C como combinação linear da base B. Então: +=−− += )0,1(d)1,1(c)3,4( )0,1(b)1,1(a)2,1( :S . Vamos obter dois sistemas
- 2. 43 lineares: = += a2 ba1 e =− +=− c3 dc4 . Resolvendo os sistemas vamos obter −− − = == 11 32 db ca ]M[P B C . Note que, na combinação linear S os escalares estão em linha e na matriz P eles estão em colunas. Teorema (1): Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam B e C duas bases de V e P a matriz de mudança da base B para C. Então: a) BPC t ⋅= b) C]P[B 1t ⋅= − Teorema (2): Seja V um espaço vetorial e B, C e D, três de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e C D]M[Q = a matriz de mudança da base C para D. Então, a matriz de mudança de B para D é C D B C ]M[]M[QP ⋅=⋅ . Teorema (3): Seja V um espaço vetorial e B e C, duas de suas bases. Seja B C]M[P = a matriz de mudança da base B para C e .Vv ∈∀ Então: a) B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − b) CB ]v[P]v[ ⋅= Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 ℜ e = 10 22 P a matriz mudança da base B para a base C. Determine a base B. Solução: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t ⋅= − . Então, − =− 11 0 )P( 2 1 1t e escrevemos os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos polinômios e dispondo-os como linhas de uma matriz. Assim: = ⋅ − = 10 01 12 02 11 0 B 2 1 , ou seja, a base B é a base canônica de )(P2 ℜ , isto é, }t,1{B = .
- 3. 44 É claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C , a qual é constituída dos escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinação linear dos vetores da base B. Seja, então, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim: +++=+ +++= )tbb(1)taa(2t2 )tbb(0)taa(22 1o1o 1o1o ⇒ +++=+ +=+ t)bta2()ba2(t12 ta2a2t02 11oo 1o ⇒ =⇒= =⇒= 0aa20 1aa22 11 o0 e =⇒+= =⇒+= 1bba21 0bba22 111 oo0 . Portanto, a base }t,1{B = . Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B −= uma base do 2 ℜ e = 3 5 3 1 3 2 3 1 P a matriz de mudança da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C. Solução: Vamos aplicar o teorema (3), onde B 1 C ]v[P]v[ ⋅= − . Primeiro determinamos as coordenadas do vetor v em relação a base B. Então: )1,1(b)2,1(a)3,2( −+= ⇒ += −= ba23 ba2 ⇒ − = = 3 1 3 5 B b a ]v[ e − − =− 11 25 P 1 . Assim: − ⋅ − − = 3 1 3 5 C 11 25 ]v[ ⇒ − = 2 9 ]v[ C Igualmente ao exemplo (2), poderíamos resolver este problema usando a definição da matriz mudança da base de B para C e a definição de coordenadas de um vetor. Seja a base )}d,c(),b,a{(C = . Então: −=−+= =−+= )3,1()1,1()2,1()d,c( )1,0()1,1()2,1()b,a( 3 5 3 2 3 1 3 1 . Assim, )}3,1(),1,0{(C −= . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v = em relação a base C, teremos: )3,1()1,0()3,2( −β+α= ⇒ β+α= β−= 33 2 ⇒ − = 2 9 ]v[ C
- 4. 45 Exercícios Propostos 1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C −= e D, três base do ℜ2 . Seja − = 31 02 Q a matriz de mudança da base C para a base D. Determine a matriz de mudança da base B para a base D. Quem é a base D? Resp: − = 64 35 ]M[ B D e )}6,9(),4,1{(D −= 2) Determine a matriz mudança da base }t21,t3,2{B 2 +−+−= para a base }t3,tt2,t1{C 22 ++−+= . Resp: − −− == 2 1 2 1 4 7 4 13 B C 0 021 1 ]M[P 3) Sejam B a base canônica do espaço )(M 2x2 ℜ e − = 85 32 A . Sabendo que a matriz de mudança da B para a base C é − − = 1100 0110 0012 0001 P , determine as coordenadas de A em relação a base C. Quem é a base C? Resp: − − = 4 12 7 2 ]A[ C e − − = 10 00 , 11 00 , 01 10 , 00 21 C 4) No 3 ℜ , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 == relacionadas da seguinte forma: ++= ++= += 3213 3212 311 ee2eg eee2g eeg . Sabendo que − − = 1 5 2 ]v[ B são as coordenadas do vetor v em relação a base B, determine C]v[ . Resp: − − = 3 1 3 ]v[ c 5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B =−= . Verifique que a matriz de mudança da base B para a base C pode ser determinada por t1B C ]BC[]M[P − ⋅== .