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ANALISIS DE VIGAS Y PORTICOS RIGIDOS
ESTATICAMENTE INDETERMINADOS POR EL METODO
DE LOS ANGULOS DE GIRO Y DESPLAZAMIENTOS
(PENDIENTE-DESVIACION)
12-1. GENERALIDADES
Los métodos de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas estudiados en
los capítulos anteriores utilizan las fuerzas (reacciones o esfuerzos internos) como
incógnitas básicas. Se conocen con el nombre de métodos de las fuerzas o de las
acciones. Los desplazamientos, sin embargo, pueden utilizarse igualmente como
incógnitas. Los métodos que utilizan los desplazamientos como incógnitas básicas se
llaman métodos de los desplazamientos. Uno de los métodos de desplazamiento más
importante es el método de la pendiente-desviación, basado en la determinación de las
rotaciones y desplazamientos de los diferentes nudos, a partir de los cuales se obtienen
los momentos en los extremos de cada barra.
El método que vamos a estudiar, puede aplicarse al análisis de todos los tipos de
vigas y pórticos rígidos estáticamente indeterminados, formados por elementos
prismáticos o no. Sin embargo, en este capítulo examinaremos exclusivamente el caso de
vigas y pórticos formados por elementos prismáticos.
11- 2. ECUACIONES FUNDAMENTALES
DE LA PENDIENTE-DESVIACION
La base del método de la pendiente-desviación la constituyen las ecuaciones de
pendiente-desviación, que nos expresan los momentos en los extremos de cada barra en
función de las deformaciones en estos extremos.
Considérese el elemento ab representado en la Fig. 12-1, que ha sido aislado de una

viga o pórtico estáticamente indeterminados (no se representan). El elemento está
deformado (véase la línea de trazos) con rotaciones en los extremos 0« y 6b y una
traslación relativa o desviación entre ay b. Evidentemente, los mo-

en donde / y g indican dos distintas funciones.
Para encontrar las expresiones de las Ecs. (12-1) y (12-2) estableceremos primero el
siguiente convenio de signos para los ángulos de giro y traslaciones:
1. El momento que actúa sobre el extremo de una barra (no articulación) es positivo
cuando tiene el sentido horario.
2. La rotación en el extremo de una barra es positiva cuando la tangente a la curva
deformada, en su extremo, gira en el sentido horario desde su posición inicial.
3. La traslación relativa o desviación entre les extremos de una barra es positiva
cuando corresponde a una rotación de la barra en el sentido horario (línea recta que une
los dos extremos de la curva elástica).
Todos los signos de las deformaciones y momentos en los extremos mostrados en la
Fig. 12-1 son positivos. El convenio de signos establecido es puramente arbitrario y
podría remplazarse por cualquier otro, pero una vez adoptado este convenio, debemos
ceñirnos rígidamente a él.
Ahora, refirámonos a la Fig. 12-1 y observemos que los momentos en los extremos
Mah y Mba pueden considerarse como la suma algebraica de cuatro efectos distintos:
1. El momento debido a la rotación 6a del extremo o, mientras el otro extremo b
está empotrado;
2. El momento debido a la rotación 0b del extremo b, mientras el extremo a está
fijo.
3. El momento debido a la trasladó» relativa A entre los dos extremos de la barra
sin alterar las pendientes o tangentes existentes en los extremos, y
4. El momento producido al aplicar las cargas actuantes sobre el vano sin alterar las
deformaciones existentes en los extremos.
mentos inducidos en los extremos a y b, a los que llamaremos Mab y Mba, están relacionados con
las deformaciones elásticas en ambos extremos así como con la carga sobre el vano ab, si
existe. Así,

De la Ec. 12-3
Sustituyendo la Ec. 12-5 en la Ec. 12-4 se obtiene
Así como

244 TEORIA ELEMENTAL DE ESTRUCTURAS
2. Considérese la barra ab soportada y deformada como se indica en la Figura 12-3, en donde el
extremo b ha rotado un ángulo 9b y el extremo a está fijo. El momento correspondiente en el extremo
b, al que llamaremos M¡¡a, y el momento en a, M&, se obtiene en forma similar:
3. Para encontrar los momentos que aparecen en los extremos debidos a una traslación pura o
desviación A entre los dos extremos sin rotaciones en los mismos, consideremos la viga empotrada en
sus extremos de la Fig. 12-4(a). Debido a la simetría de la deformación con respecto al punto central de
la barra [véanse las líneas de trazos de la Fig. 12-4(a)], los dos momentos en los extremos deben

NAL ISIS DE VIGAS Y PORTICOS RIGIDOS 245
ra 12-4(b). Obsérvese que, además de las cargas elásticas distribuidas del diagrama
M/EI, actúa un par o momento en el extremo b igual a A, correspondiente a la
desviación en b de la viga real. De Y. M = 0 tenemos
o
Así, pues, los momentos en los extremos de una barra, debidos a un puro desplazamiento
relativo están dados por
4. Finalmente, los momentos que aparecen en los extremos de una barra sin causar
deformaciones en los extremos, cuando se aplican las cargas externas sobre el vano, no son otra
cosa que los momentos de empotramiento perfecto, designados corrientemente por y Mba.
Sumando los cuatro efectos anteriores, tenemos:

Los signos y los valores de y A/£ dependen de las condiciones de carga en el vano ab. Si la
barra ab no soporta ninguna carga, entonces = M£a = 0. Véanse las Secs. 9-2 y 10-2 para la
determinación de los momentos de empotramiento. En la Tabla 12-1 se indican los valores de
los momentos de empotramiento en una barra recta con El constante, debidos a los tipos más
usuales de cargas.

12- 3. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS POR EL METODO DE
PENDIENTE-DESVIACION
El método consiste en escribir una serie de ecuaciones de pendiente-desviación que expresan
los momentos en los extremos de todas las barras en función de la pendiente (rotación) y la
desviación (traslación relativa) de los diferentes nudos, o de cantidades proporcionales a ellas,
determinando estos desplazamientos desconocidos mediante un cierto número de ecuaciones de
equilibrio que deben ser satisfechas por estos momentos de los extremos. Una vez determinados
los desplazamientos, pueden calcularse los momentos. La solución asi obtenida es única, puesto
que satisface las ecuaciones de equilibrio y las condiciones en los extremos (condiciones de
compatibilidad) incluidas dentro de las ecuaciones de pendiente- desviación.

Como ejemplo, consideremos el pórtico de la Fig. 12-5(a). Primero se dibujan los diagramas
del sólido aislado para todas las barras, como se indica en la Fig. 12-5(b), donde los momentos
desconocidos en los extremos de cada barra se suponen positivos, esto es, actuando en el sentido
horario de acuerdo con nuestro convenio de signos.
Observamos que los extremos a y d del pórtico están empotrados y, por tanto, no hay
rotación (6a = 6d = 0) ni desplazamiento lineal. El nudo b, debido a la restricción de la
constancia de la longitud ab (se desprecia la pequeña variación de longitud de ab debida a las
fuerzas axiales), y el apoyo a, solamente puede girar alrededor de a. Sin embargo, como las
deformaciones del pórtico son extremadamente pequeñas comparadas con la longitud, se puede
remplazar la longitud de arco por la longitud de la tangente sin error apreciable. Los nudos b y c,
se mueven

Horizontalmente una distancia A a la derecha [véase Fig. 12-5(a)], y, por tanto, hay una
desviación A relativa entre los nudos a y b y también entre c y d. No existen desviaciones
relativas entre los nudos ¿ye por despreciarse los pequeños alargamientos o acortamientos de
ab y cd debidos principalmente a las fuerzas axiales. Existen unas rotaciones en los nudos
¿»ye. Debe ponerse gran atención en el hecho de que, cuando un pórtico se deforma, cada
nudo rígido rota como un todo. Por ejemplo, las barras hay be rotan el mismo ángulo 6b en el
nudo b. En forma similar, las barras cb y cd rotan el mismo ángulo 6C en el nudo c.
Para determinar los momentos en los extremos de cada una de las barras mostradas en la
Fig. 12-5(b), escribimos una serie de ecuaciones de pendiente-desviación en la forma
siguiente:
En las expresiones anteriores intervienen tres incógnitas: 0b, 0C y R (o A/20). Estas pueden
determinarse mediante las tres ecuaciones de la estática, que deben satisfacer los momentos en
los extremos.
Al tomar los nudos b y c como sólidos aislados, obtenemos inmediatamente dos
ecuaciones de equilibrio
Generalmente se obtienen tantas ecuaciones de equilibrio en los nudos como rotaciones 9 en
los mismos. Ahora bien, al tener otra incógnita, rotación R de las barras, debe obtenerse una
tercera ecuación, partiendo del equilibrio de la estructura. Si nos referimos a la Fig. 12-5 y
tomamos como sólido aislado el pórtico completo, vemos que la fuerza cortante horizontal en
los extremos ay d debe equilibrar las fuerzas externas horizontales que actúan sobre el pórtico.
Así, pues.

Antes de sustituir las expresiones de la Ec. 12-16 en las Ecs. 12-17, 12-18 y 12-19,
deberíamos tener en cuenta que si nuestro propósito es determinar los momentos en los
extremos, y no obtener los valores exactos de la pendiente y desviación de cada nudo,
entonces podemos sustituir los coeficientes 2EI/1 por números proporcionales, generalmente
enteros simples, en las ecuaciones de pendiente-desviación con el fin de facilitar los cálculos.
Esto puede hacerse perfectamente, ya que tal sustitución solamente aumenta los valores de 0 y
A sin afectar el resultado final de los momentos en los extremos. Así, si hacemos
y las expresiones de los momentos de la Ec. 12-16 se convierten en:
Sustituyendo estos valores en las Ecs. 12-17, 12-18 y 12-19 se obtiene:
Resolviendo el sistema de Ecs. 12-21, 12-22 y 12-23, obtenemos
Debe tenerse en cuenta que los valores así obtenidos son solamente los valores relativos de
la pendiente y desviación en los distintos nudos. Estos valores deben dividirse por el término
2£Y/20 para obtener los valores absolutos de las
Pendientes y desviaciones.
Para determinar los momentos en los extremos de cada barra del pórtico, sustituimos 0b =
—1,20, 0C = 5,05, R = 9,30 en la Ec. 12-20 y obtenemos
r

La Fig. 12-6(a) representa el diagrama de las acciones en los extremos de cada barra del
pórtico, de acuerdo con lo indicado en la Fig. 12-5(b).
La Fig. 12-6(b) representa el diagrama de momentos del pórtico. Los momentos se han
dibujado sobre el lado de compresión de cada barra. En este caso particular cada barra tiene un
punto de inflexión correspondiente al punto de momento cero.
Finalmente, podemos dibujar la curva elástica de la estructura deformada, como se indica en
la Fig. 12-6(cj, partiendo de los valores (o valores relativos) de
las rotaciones y desviaciones en cada nudo junto con el diagrama de momentos. Obsérvese en
particular lo siguiente:
1. La curva elástica del pórtico deformado se curva de acuerdo con el diagrama de
momentos.
2. Los nudos b y c se desvían hacia la derecha la misma distancia horizontal.
3. El nudo b rota en sentido anti horario, mientras el nudo c lo hace en el sentido horario.
4. Como los nudos b y c son rígidos, las tangentes a las curvas elásticas ba y be en b, y las
tangentes a las curvas elásticas cb y cd en el punto c deben ser perpendiculares entre sí para
mantener la forma inicial de los nudos en el pórtico descargado.

12- 4. ANALISIS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS POR EL METODO DE
LA PENDIENTE-DESVIACION
La aplicación del método de la pendiente-desviación a la resolución de vigas estáticamente
indeterminadas se verá en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 12-1. En la Fig. 12-7(a) se tiene una viga continua con tramos de diferente
sección, cuyos apoyos no tienen asentamientos. Queremos dibujar los diagramas de fuerza
cortante y momento flector en la viga. La determinación de los momentos y las fuerzas cortantes
en los extremos abarca las siguientes etapas:
I. Puesto que lEK^ = 2£(2/)/16 = £7/4, y 2EKbc = 2EI/M = £7/6, si tomamos 2EKab = 3,
entonces 2EKbt = 2 proporcionalmente. Los valores relativos de 2EK se indican dentro de
círculos en la Fig. 12-7(a).

2. A la vista de la figura, 0„ = 0 (extremo empotrado en a) y Rab ==
0
(Apoyos sin asentamientos en a, b, c).
3. Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto como sigue:
4. Escribir las ecuaciones de pendiente-desviación, aplicando los valores relativos de
2EK.
5. En las ecuaciones anteriores tenemos dos incógnitas 9b y 6C que pueden resolverse
mediante dos condiciones en los nudos: a saber.
7. Habiendo determinado los valores en los extremos para cada barra, podemos obtener
las fuerzas cortantes en los extremos, y, por tanto, las reacciones.
Sustituyendo las Ecs. 12-25 y 12-26 en la Ec. 12-28 y la Ec. 12-27 en la Ec. 12-29, se obtiene
6. Sustituyendo los valores anteriores en la etapa 4, obtenemos

Ejemplo 12-2. Encontrar los momentos en los extremos en la viga continua de cuatro
tramos representada en la Fig. 12-8, como consecuencia de un asentamiento de 0.4 in. del
apoyo c. Tómese E = 30,000 klb/in?, / = 1,000 inf
8. Los diagramas de fuerza cortante y momento se dibujan en la forma indicada por las Figs. 12-
7(b) y (c), respectivamente.

Algunos pórticos rígidos, tales como los representados en las Figs. 12-9(a),
(b) , (c) y (d), están organizados de tal manera que no son posibles traslaciones de los nudos.
Otros, aunque con posibilidad de traslación de los nudos por construcción, no sufren esa
traslación debido a la simetría de la estructura y de las cargas respecto a ciertos ejes, tales como
las representadas en las Figs. 12-9(e), 10 y (g)-
en las ecuaciones de pendiente-desviación, lo que simplifica considerablemente el análisis, como
se verá en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 12-3. Los momentos en los extremos, en el pórtico de la Fig. 12-10, se obtuvieron
por los métodos de las deformaciones compatibles (Ejemplo 9-7) y del trabajo mínimo
(Ejemplos 10-4 y 10-5) y se determinarán nuevamente por el método de la pendiente-desviación.
12- 5. ANALISIS DE PORTICOS RIGIDOSESTATICAMENTE
INDETERMINADOS SIN TRASLACION DE NUDOS MEDIANTE EL METODO DE LA PENDIENTE-DESVIACION
En ambos casos

El análisis consta de los siguientes pasos:
1. Los valores relativos 2EK para todas las barras se indican dentro de círculos.
2. 0a = 0d = R = 0, y debido a la simetría, 6C = —0b.
3. Mi = = —(1.2)(10)2
/12 = -10 ft-klb.
4. Las ecuaciones de pendiente desviación están dadas por
Ejemplo 12-4. Analizar el pórtico de la Fig. 12-11 si el apoyo en a sufre un giro de 0.0016
radianes en el sentido horario. Tomar El = 10.000 klb-ft2
.
5. En el análisis existe solamente una incógnita, 0b, que puede determinarse mediante
Sustituyendo las Ecs. 12-35 y 12-36 en la Ec. 12-37, se obtiene
6. Volviendo al paso 4, obtenemos

TEORIA ELEMENTAL DE ESTRUCTURAS
En la Fig. 12-12 se representan varios ejemplos de pórticos rígidos con un grado de
libertad de traslación de los nudos. En cada uno de estos ejemplos, dada o supuesta la
traslación de un nudo, las de todos los demás pueden deducirse de ella.
12- 6. ANALISIS DE PORTICOS RIGIDOS ESTATICAMENTE
INDETERMINADOS CON UN GRADO DE LIBERTAD DE TRASLACION DE NUDOS, POR EL METODO DE LA
PENDIENTE-DESVIACION

Por ejemplo, supóngase que, en el pórtico de la Fig. 12-12(a), el nudo a se desplaza hasta a',
una distancia A. Como despreciamos cualquier pequeña variación de longitud de una barra
debida a las fuerzas axiales, y como las rotaciones de las barras son pequeñas, el nudo a se
mueve esencialmente en dirección perpendicular a la barra Aa, y en este caso, horizontalmente.
Por el mismo motivo, el nudo b en la parte superior de la columna Bb debe moverse
horizontalmente. Además, como b es el extremo de la barra ab y el cambio en longitud axial de
ab se desprecia, el movimiento horizontal de b [véase bb’ en la Fig. 12-12(a)] debe también ser
A; esto es aa' = bb' = A.
De la misma manera, deducimos que si el nudo a en la Fig. 12-12(b) se mueve una distancia
horizontal A hasta a', los extremos superiores de todas las otras columnas deben tener el mismo
desplazamiento horizontal.
Ahora consideremos el caso de la Fig. 12-12(c), en el que el pórtico está sometido a una
fuerza, lateral en el extremo superior de la columna Aa. El nudo a no puede moverse en otra
dirección que la horizontal, por ejemplo, una distancia Aj hasta a'. Para encontrar la posición
final del nudo b, imaginemos que se corta provisionalmente el pórtico en b. El punto b, extremo
de la barra ab, se moverá hacia b' una distancia A,, si está libre de cualquier otro efecto distinto
al debido al movimiento de a. Sin embargo, b es también extremo de la barra Bb; la posición
final de b, punto , debe determinarse mediante la intersección de los dos arcos que delimitan el
movimiento de b' —uno desde a' con radio igual a ab (o a'b') y el otro desde B con radio igual a
Bb. Como las deformaciones del pórtico son muy
Pequeñas en relación con las longitudes de las barras, se permite sustituir las tangentes por los
arcos, como se indica en la Fig. 12-12(c). El diagrama de desplazamientos se indica
separadamente en la Fig. 12-12(c)' en la que llamamos A, al desplazamiento relativo entre los
extremos de la barra Aa; A2 al de los extremos de ab, y A3 al existente entre los extremos de la
barra Bb. La relación entre A,, A¿ y A3 puede expresarse mediante el teorema de los senos; esto
es.

Los desplazamientos de los nudos de la Fig. 12-12(d) son de la misma forma que los
descritos para la Fig. 12-12(c), observándose que el nudo a deberá moverse perpendicularmente
a la barra Aa. Si se observa el diagrama de desplazamiento de la Fig. 12-12(d)', vemos que
El procedimiento descrito se extiende ahora a un pórtico de dos vanos, como el de la Fig.
12-12(e), así como el diagrama de desplazamientos de la Fig. 12-12(e)'. Puede extenderse, pues,
a cualquier número de vanos. Aclarado este punto referente a la desviación relativa entre los
extremos de cada barra, la aplicación de las ecuaciones de pendiente-desviación resulta muy
sencilla.
Ejemplo 12-5. Encontrar los momentos en los extremos de cada barra del pórtico de la Fig.
12-13(a) debidos a la aplicación de una fuerza lateral P que actúa sobre el extremo superior de
la columna. Suponer El constante para todo el pórtico.
Debido a la fuerza lateral P aplicada en b, el pórtico se desplaza hacia la derecha. Los
nudos b y c se mueven horizontalmente una distancia A, como se indica. También hay
rotaciones en los nudos b y e, 9b y 0e, respectivamente. Como una fuerza P igual y
opuesta aplicada en c equilibraría totalmente la fuerza inicial en b, volviendo la estructura
a su posición inicial (excepto una pequeña variación en la longitud de be por
compresión), 0b debe ser igual a 0C. Así, pues.

Este caso particular en el que los momentos en los extremos y las rotaciones en los nudos
a un lado del eje de la estructura son iguales que los del otro lado, se conoce con el
nombre de asimetría en oposición al caso de simetría, en el que los valores de los
momentos en los extremos y las rotaciones en los nudos a un lado del eje de la estructura
son iguales, pero de opuesto sentido, a los del otro lado, de acuerdo con el convenio de
signos de la pendiente-desviación.
I Las incógnitas, 0b y R, se determinan entonces mediante dos ecuaciones de equilibrio,
una para el nudo b y la otra para el pórtico completo.
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de los momentos en los extremos,
Obtenemos
Ejemplo 12-6. Dibujar el diagrama de momentos flectores en el pórtico de la Fig.
I2-I4(a). Los valores de 2EK se indican dentro de los circuitos.

zamientos se observa que A3 (desplazamiento relativo entre los extremos b y c ) y A4 (entre c y d ) están relacionados con A, (entre a y
b ) y A2 (entre d y e ) por el teorema de los senos.
así que A3 y A4 pueden deducirse de A, y A2.
El caso de la Fig. I2-I5(b) es similar al de la Fig. I2-I5(a) excepto que suponemos que los extremos superiores de las dos columnas se
mueven en la misma dirección como resultado de una fuerza lateral aplicada en b . Las relaciones entre las desviaciones de los nudos se
expresan por medio de
Las Figs. I2*l5(c) y (e) indican los desplazamientos en los nudos en pórticos de dos pisos y la Fig. I2-I5(d) representa los desplazamientos de
los nudos en un

pórtico de dos naves. En cada uno de estos casos la conformación de la estructura es tal que las traslaciones d|e los nudos del primer piso no guardan
relación fija con las del segundo piso; esto es, las traslaciones de los nudos b y e no tienen ninguna relación con las traslaciones de los nudos c y d. El
procedimiento para determinar los desplazamientos en los nudos en cada uno de los pisos es el mismo que se examinó en la Sec. 12-6 para pórticos de
un solo piso. Una vez determinadas las desviaciones relativas de los extremos de cada barra, resulta sencillo el análisis
del pórtico por el método de la pendiente-desviación.
r
Ejemplo 12-7. Encontrar todos los momentos en los extremos de las barras del pórtico de la Fig. 12-16. Suponer El constante en todo el
pórtico.
valores
relativos de 2EK son los números dentro de los círculos.
Empezamos por dibujar los desplazamientos de los nudos del pórtico como se indica en la Fig. I2-I6(b) en la que observamos que

NAL ISIS DE VIGAS Y PORTICOS RIGIDOS 6
Las ecuaciones de equilibrio de momentos en los nudos se establecen en la forma:
(12-48)
(12-49)
La tercera ecuación resulta del equilibrio de la fuerza cortante para todo el pórtico
aislado de los apoyos [véase Fig. 12-17(c)"]:

(12-50)
La cuarta ecuación se obtiene al considerar como sólido aislado toda la parte del
pórtico justamente por encima de la sección be: la fuerza cortante en las dos

Columnas [véase las líneas a trazos de la Fig. 12-17{c)] debe equilibrar la fuerza
lateral de 10 klb. Así, pues.
(12-51)
Resolviendo el sistema de las Ecs. 12-48, 12-49, 12-50 y 12-51. Obtenemos
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de momentos, llegamos a:
Valores que se han representado en la Fig. 17-I7(d).

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