5 Planejamento de transporte princípios e práticas.pdfdplus3261
Anúncio
seman77838886378a_11-Lei_de_Faraday.pptx
1. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Teoria Eletromagnética
Prof. José Patrocínio da Silva
2. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Corrente de Deslocamento e Aplicações das Equações de Maxwell
A equação de Maxwell (baseada na lei de Ampère) para campos variáveis no
tempo, utiliza o termo , que é conhecido como densidade de corrente de
deslocamento. Dessa forma, essa equação pode ser escrita em função dessa
densidade como segue:
Onde é a densidade de corrente de condução (). A inserção do termo , na
equação da Lei de Ampère foi das maiores contribuições de Maxwell. Sem
esse termo, a propagação de ondas eletromagnéticas (tais como onda de
rádio ou de TV) não poderia ser prevista. Em baixas frequências, é
usualmente desprezível quando comparada como . Entretanto, em
frequências mais elevadas os dois termos são camparáveis.
∇×⃗
𝐻=⃗
𝐽+
𝜕⃗
𝐷
𝜕𝑡
=𝜎 ⃗
𝐸+ 𝑗 𝜔𝜀⃗
𝐸
3. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Tomando como base a densidade de corrente de deslocamento, podemos
definir a corrente de deslocamento da seguinte forma:
S
d
dt
D
S
d
J
I D
d
A corrente de deslocamento é o resultado de um campo elétrico variável no
tempo. Um exemplo típico dessa forma de corrente é a corrente através de
um capacitor quando uma fonte de tensão alternada é aplicada em seus
terminais.
Corrente de Deslocamento
4. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Exemplo 1. Um capacitor de placas paralelas, com área de placa de e
separação entre as placas de 3 mm, tem uma tensão aplicada às suas placas
de . Calcule a corrente de deslocamento considerando .
Corrente de Deslocamento
Solução
Capacitância do capacitor
Corrente de condução
S
Q
D
S
Q
D
Corrente de condução igual a corrente
de deslocamento
Cálculo da corrente de deslocamento
𝑣=𝑉 0 𝑠𝑒𝑛( 𝜔𝑡+ 𝛽 𝑧)
6. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
As formas gerais das equações de Maxwell envolvem condições com
variações no tempo e são mostradas na tabela abaixo.
Uma outra equação muito importante para eletromagnetismo é a equação da força de
Lorentz:
B
u
E
Q
F
Equações de Maxwell nas Formas Finais
7. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Outras equações que estão associadas as equações de Maxwell:
Relações constitutivas para meios lineares,
homogêneos e isotrópicos, caracterizados por
, e (validas para variações no tempo)
t
J v
Equações de Maxwell nas Formas Finais
u
E
J
M
H
H
B
P
E
E
D
v
0
0
Equação da continuidade que também é válida
para variações no tempo
0
ˆ
ou
0
ˆ
ou
ˆ
ou
0
ˆ
ou
12
1
2
2
1
12
2
1
2
1
12
2
1
2
1
12
2
1
2
1
n
n
n
s
n
s
n
n
n
t
t
n
t
t
a
B
B
B
B
a
D
D
D
D
K
a
H
H
K
H
H
a
E
E
E
E
Condições de fronteiras que
também são validas para variações
no tempo.
8. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Equações de Maxwell nas Formas Finais
Outras equações que estão associadas as equações de Maxwell:
Para condutores perfeitos, , logo, para campos variáveis no tempo
0
e
0
:
portanto
0
e
0
,
0
t
n E
B
J
H
E
Resumo
10. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Potenciais variáveis no tempo
A lei de Faraday pode ser escrita como:
t
B
E
Para campos variáveis no tempo podemos escrever: A
B
Combinando as duas equações acima temos:
0
0
t
A
E
t
A
E
t
A
E
t
A
E
O rotacional de um gradiente de um campo escalar é identicamente nulo, com isso temos:
t
A
V
E
V
t
A
E
Aplicando o diverte na equação acima temos:
t
A
V
E
t
A
V
E
2
Das equações de Maxwell, sabemos também que:
v
E
11. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Combinando as duas últimas equações apresentadas tem-se:
Combinando as equações , e podemos obter:
Potenciais variáveis no tempo
v
v
t
A
V
t
A
V
E
E
2
2
e
t
D
J
H
A
B
t
A
V
E
t
E
J
A
t
E
J
A
A
H
A
H
1
1
2
2
t
A
t
V
J
t
A
V
t
J
A
t
E
J
A
Aplicando-se a identidade vetorial , podemos obter:
2
2
2
t
A
t
V
J
A
A
Equiparando a igualdade na equação acima podemos fazer
t
V
A
t
A
J
A
e
2
2
2
12. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Potenciais variáveis no tempo
Da primeira equação acima podemos concluir que
t
V
A
t
A
J
A
e
2
2
2
J
t
A
A
2
2
2
Podemos considerar , logo podemos reescrever a equação acima
v
t
A
A
2
2
2
A segunda equação das duas equações relacionadas na primeira linha, é denominada
condição de Lorentz para potenciais e as duas últimas equações representam as equações de
onda para propagação de ondas eletromagnéticas.
13. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Potenciais variáveis no tempo
A solução para as duas equações anteriores na forma integral pode ser dada,
respectivamente, por:
)
(
4
V
R
dv
J
A
V
)
(
4
V
R
dv
V
V
v
O termo significa que o tempo t em é substituído pelo tempo de retardo dado por:
R
t
t
'
1
u
Onde é distância entre e ponto de observação
Representa a velocidade de propagação da onda.
⃗
𝑢=
1
√𝜇𝜀
=
1
√𝜇𝑟 𝜇0 𝜀𝑟 𝜀0
=
1
√𝜇𝑟 𝜀𝑟
1
√𝜇0 𝜀0
=
1
√𝜇𝑟 𝜀𝑟
1
√4 𝜋 ×10−7 10− 9
36 𝜋
=
1
√𝜇𝑟 𝜀𝑟
1
√10− 16
9
=
1
√𝜇𝑟 𝜀𝑟
(3×10
8
)=
3×108
√𝜇𝑟 𝜀𝑟
=
𝐶
𝑛
(𝑚/𝑠)
𝑛=
𝑣𝑝1
𝑣𝑝2
=√𝜇𝑟 𝜀𝑟
14. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Números Complexos
O plano complexo , também chamado de plano de Argand-Gauss é uma
representação geométrica do conjunto dos números complexos.
O numero z=a+bi pode ser associado ao par
ordenado z=(a;b)
15. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Eixo real
Eixo
imaginário
Z = 8 + 6i
O plano complexo , também chamado de plano de Argand-Gauss é uma
representação geométrica do conjunto dos números complexos.
16. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Soma e subtração
Vamos considerar dois números complexos
Z 1 =10-2i e Z2 = -7+6i
Soma
Z 1 + Z2 = (10-2i)+(-7+6i)
Z 1 + Z2 = (10-7)+(-2+6)i
Z 1 + Z2 = 3 + 4i
Ou seja
Z 1 + Z2 = (a+bi)+(c+di)
Zn + Zp = (a+c)+(b+d)i
Subtração
Z1 - Z2 = Z 1 + ( - Z2 )
Z 1 - Z2 = (10-2i) - (-7+6i)
Z 1 - Z2 = (10-2i) + (+7-6i)
Z 1 - Z2 = (10+7) + (-2-6)i
Z 1 - Z2 = 17 - 8i
Ou seja
Z 1 + Z2 = (a+bi)-(c+di)
Z 1 + Z2 = (a+bi)+(-c-di)
Zn + Zp = (a-c)+(b-d)i
Operações com Números Complexos
19. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Campos harmônicos com o tempo são aqueles que variam periodicamente ou
senoidalmente com o tempo. Nesse caso, faz-se necessário sabermos o que é
um fasor e descrever um número na forma fasorial.
Campos Harmônicos no tempo
jsen
r
re
z
r
jy
x
z j
cos
Onde , x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z, r é o módulo ou
magnitude de z dada por:
2
2
y
x
z
r
Onde , é a fase de z.
As variáveis x, y, z, r e não devem ser confundidos com variáveis
coordenadas.
20. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Introdução da dependência com o tempo
t
j
j
t
j
j
e
re
re
re
t
As partes real e imaginária do número complexo acima são
dadas respectivamente por:
t
rsen
re
t
r
re
j
j
Im
cos
Re
Uma corrente senoidal dada, por exemplo, por , é igual de . A corrente é a
parte imaginária de .
21. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Uma corrente senoidal dada, por exemplo, por , é igual de . A corrente é a
parte imaginária de , pode também ser representada como aparte real de ,
porque . Entretanto, ao se realizar uma operações matemáticas, deve ter o
cuidado de usar ou a parte real ou a parte imaginária de uma grandeza, mas
não ambas simultaneamente.
Introdução da dependência com o tempo
0
0 I
e
I
I j
s Fasor de corrente
A forma instantânea de pode ser expressa como:
t
j
se
I
t
I
Re
)
(
22. Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Introdução da dependência com o tempo
Em geral, um fasor pode ser um escalar ou um vetor. Se um vetor é um campo harmônico no
tempo, a forma fasorial de é , estando essas duas grandezas relacionadas através da
expressão abaixo:
t
j
se
A
A
Re
Seja , podemos escrever como:
t
j
y
x
j
e
a
e
A
A
ˆ
Re 0
Comparando as duas expressões anteriores tempos que:
y
x
j
s a
e
A
A ˆ
0
t
j
t
j
s e
j
dt
A
d
e
A
t
t
A
Re
Re
Determinar uma derivada no tempo de uma grandeza instantânea
é equivalente a multiplicar sua forma fasorial por :
s
A
j
t
A
De forma similar:
j
A
t
A s
![Teoria Eletromagnética Engenharia Elétrica
‒
Multiplicação
Vamos considerar dois números complexos
Z 1 =10-2i e Z2 = -7+6i
Z1 . Z2 = (10 – 2i ) . ( -7 + 6i )
(10 ) . ( -7 ) + (10 ) .(+6i ) +( -2i ) . (-7 ) +( -2i ) .( +6i )
( -70 ) + (60i ) + (+14i ) + (-12i² )
( -70 ) + ( 74i ) + [ -12 ( -1 ) ]
( -70 ) + (+12 ) + 74i
-58 +74i
Dados Zn = a +bi e Zp = c +di
Ou seja Zn . Zp = (a+bi).(c+di)
Zn . Zp = ac+adi+cbi+bidi
=ac +adi +cbi +bd(i²)
=ac +(ad +cb )i + bd( -1 )
=( ac – bd ) + (ad + cb )i
Operações com Números Complexos](https://image.slidesharecdn.com/semana11-leidefaraday-250716182641-9d568ae8/85/seman77838886378a_11-Lei_de_Faraday-pptx-17-320.jpg)
