Apostila

APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA

 Potenciação
 Radiciação
 Fatoração
 Logaritmos
 Equações
 Polinômios
 Trigonometria


Potenciação
O que é preciso saber (passo a passo)
Seja:

O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada, isto é:

Ex 1 ) 23 = 2 . 2 . 2 = 8
Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potência 8.

Ex 2 ) (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8
Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potência –8

Veja:
-23 é o mesmo que -1 . 23 = -1 . 8 = -8
(-2)2 é o mesmo que (-1 . 2)2 = [( -1 ) 2 . 22 ] = 1 . 4 = 4

Então fica fácil explicar porque:

Exercício:
Será que a afirmação ( -2 ) n = - 2 n é verdadeira para todo “n” natural?
É óbvio que o sinal da potência vai depender da análise, ou seja, se “n”é par ou ímpar.

1º Caso: Se “n” é par temos:

1


2º Caso: se “n” é ímpar temos:

Propriedades da potenciação

Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:
m p m+p
a .a =a
Veja:
a m+p = a m . ap
2n+3 = 2 n . 23 = 2 n . 8
2n+p+q = 2 n . 2p . 2q

Obs: caso existir uma série de termos, não se esqueça de colocar o termo comum em evidência.

Ex: 2n+2 + 2n+3 + 2 n+1
2n . 22 + 2 n . 23 + 2 n . 21
2n( 22 + 23 + 2)
2n( 14 )

Facilita e muito a análise das propriedades se você escolher números que podem ser
representados na mesma base. Na multiplicação, use:
8.4
9 . 27
5 . 25

Os quais serão convertidos em:
8 . 4 = 2 3 . 22 = 25
9 . 27 = 32 . 33 = 35
5 . 25 = 51 . 52 = 53

Propriedade: em divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os
expoentes.

2


Interessantíssimo: você sabe o porquê de todo número elevado a zero ser igual a 1?

a0 = 1 (a ≠ 0)

Para você provar, basta representar uma fração onde o numerador e o denominador sejam iguais.

Conclusão: a0 = 1 é uma consequência da propriedade

Propriedade: (a m)p = a mp
O expoente nos diz quantas vezes à base será multiplicada.

Ex: (a3)2 = a6
ou
(a3)2 = a3 . a3 = a3+3 = a6

Ex: (a2)4 = a8
ou
(a2)4 = a2 . a2 . a2 . a2 = a8

Propriedade: ( am . b p ) q = amq . b pq

Ex: ( 23 . 52 )4 = 212 . 58

Interessantíssimo: em física e química é comum às operações básicas serem efetuadas através de
potência de 10.

Obs: o coeficiente da potência de 10 sempre deverá ser um número no intervalo de 1 a 9. p . 10n,
isto é, 1 < p < 9.

3


Radiciação
O que é preciso saber
Seja:

4


Se “n” é ímpar, então:

Se “n” e “p” tem representação par, então a raiz enésima de “xp” sempre será positiva.

Propriedades da radiciação

5


Importantíssimo: quando existir apenas produto e (ou) divisão de radicais é preferível
transformar todas as raízes em forma de potência.

6


7


Fatoração
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas
fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exercícios : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:

ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em
comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:
a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada

3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente
extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exercícios: Fatore:

8


a)
b)
c)

Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado
perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( )e( ) são quadrados perfeitos porque
são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

Assim:

| |

| |
2x 3y
|__________|
|
2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada
|_______________|
Sinal

Logo: = » forma fatorada
|_______________|
Sinal

Exs:

a)

b)

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:

Exercícios:

a)

b)

9

Apostila

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados (20)

Destaque (17)

Semelhante a Apostila (20)

Apostila