Ejer1y2 tp2
0 recomendaciones•136 vistas
El documento presenta los pasos para derivar las ecuaciones de difusión del calor en coordenadas cilíndricas y esféricas. Primero define un volumen de control diferencial y los procesos de transferencia de energía relevantes. Luego, aplica la ecuación de conservación de la energía para el volumen de control. Finalmente, usando la ley de Fourier, deriva las ecuaciones de difusión del calor en cada sistema de coordenadas.
![´
Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No 2 2o Cuatrimestre 2006
T´ rmino de generaci´ n
e o
˙
Eg = q r dr dφ dz
˙ dV = r dr dφ dz
q: veloc. de gener. de energ´a por u. de vol. [W/m3 ]
˙ ı
T´ rmino de acumulaci´ n
e o
˙ ∂T
Ea = ρ cp r dr dφ dz
∂t
4. Ec. de conservaci´ n de la energ´a, base instant´ nea.
o ı a
˙ ˙ ˙ ˙
Ee + Eg − Es = Ea (4)
Reemplazando en (4) las expresiones de cada t´ rmino:
e
∂T
qr + qφ + qz + q r dr dφ dz − qr+dr − qφ+dφ − qz+dz = ρ cp
˙ r dr dφ dz (5)
∂t
Aplicando las ecuaciones (1), (2), (3)
∂qr ∂qφ ∂qz ∂T
− dr − dφ − dz + q r dr dφ dz = ρ cp
˙ dr r dφ dz (6)
∂r ∂φ ∂z ∂t
Por la Ley de Fourier,
∂T
qr = − k r dφ dz (7)
∂r
∂T
qz = − k r dφ dr (8)
∂z
∂T 1
qφ = − k dr dz (9)
∂φ r
Reemplazando (7), (8) y (9) en (6), dividiendo m.a.m. por r dr dφ dz
1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T
kr + k + k + q = ρ cp
˙ (10)
r ∂r ∂r r2 ∂φ ∂φ ∂z ∂z ∂t
→ Ec. de difusi´ n del calor en coordenadas cil´ndricas.
o ı
Prof. Mariana A. Suarez 2-4
Aux. Mart´n E. Krenek
ı](https://image.slidesharecdn.com/ejer1y2tp2-121129094814-phpapp02/85/Ejer1y2-tp2-2-320.jpg)
![´
Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No 2 2o Cuatrimestre 2006
Ecuaci´ n de difusi´ n del calor en coordenadas esf´ ricas
o o e
1. Esquema
2. Procesos relevantes de transferencia de energ´a
ı
T´ rmino de entrada
e
˙
Ee = qr + qφ + qθ
qr , qφ , qθ : veloc. de transf. por conducci´ n, normales a cada sup. de control.
o
T´ rmino de salida
e
˙
Es = qr+dr + qφ+dφ + qθ+dθ
Aplicando desarrollo de Taylor, despreciando t´ rminos de orden sup.
e
∂qr
qr+dr = qr + dr (11)
∂r
1 ∂qφ
qφ+dφ = qφ + r sin θ dφ (12)
r sin θ ∂φ
1 ∂qθ
qθ+dθ = qθ + r dθ (13)
r ∂θ
T´ rmino de generaci´ n
e o
˙
Eg = q r2 sin θ dr dφ dθ
˙ dV = r2 sin θ dr dφ dθ
q: veloc. de gener. de energ´a por u. de vol. [W/m3 ]
˙ ı
T´ rmino de acumulaci´ n
e o
˙ ∂T 2
Ea = ρ cp r sin θ dr dφ dθ
∂t
3. Ec. de conservaci´ n de la energ´a, base instant´ nea.
o ı a
˙ ˙ ˙ ˙
Ee + Eg − Es = Ea (14)
Reemplazando en (14) las expresiones de cada t´ rmino:
e
∂T 2
qr + qφ + qθ + q r2 sin θ dr dφ dθ − qr+dr − qφ+dφ − qθ+dθ = ρ cp
˙ r sin θ dr dφ dθ (15)
∂t
Aplicando las ecuaciones (11), (12), (13)
∂qr ∂qφ ∂qθ ∂T 2
− dr − dφ − dθ + q r2 sin θ dr dφ dθ = ρ cp
˙ r sin θ dr dφ dθ (16)
∂r ∂φ ∂θ ∂t
Prof. Mariana A. Suarez 3-4
Aux. Mart´n E. Krenek
ı](https://image.slidesharecdn.com/ejer1y2tp2-121129094814-phpapp02/85/Ejer1y2-tp2-3-320.jpg)
Ejer1y2 tp2
- 1. U NIVERSIDAD N ACIONAL DE Q UILMES ´ I NGENIERIA EN AUTOMATIZACI ON Y C ONTROL I NDUSTRIAL ´ Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No2 Ecuaci´ n de difusi´ n del calor en coordenadas cil´ndricas o o ı Objetivo: Determinar el campo de temp. en un medio con determinadas condic. en sus l´mites ı −→ distribuci´ n de la temperatura en funci´ n de la posici´ n. o o o Pasos: Definir volumen de control diferencial Identificar procesos relevantes de transferencia de energ´a. ı Introducir las ecuaciones de velocidad apropiadas. −→ ED cuya soluci´ n, para cond. de contorno dadas, provee la distribuci´ n de temperatura en el o o medio. An´ lisis para el volumen de control diferencial a 1. Esquema 2. Base de tiempo: instant´ nea. a 3. Procesos relevantes de transferencia de energ´a ı T´ rmino de entrada e ˙ Ee = qr + qφ + qz qr , qφ , qz : veloc. de transf. por conducci´ n, normales a cada sup. de control. o T´ rmino de salida e ˙ Es = qr+dr + qφ+dφ + qz+dz Aplicando desarrollo de Taylor, despreciando t´ rminos de orden sup. e ∂qr qr+dr = qr + dr (1) ∂r 1 ∂qφ qφ+dφ = qφ + r dφ (2) r ∂φ ∂qz qz+dz = qz + dz (3) ∂z 2 O C UATRIMESTRE 2006 Prof. Mariana A. Suarez 1-4 Aux. Mart´n E. Krenek ı
- 2. ´ Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No 2 2o Cuatrimestre 2006 T´ rmino de generaci´ n e o ˙ Eg = q r dr dφ dz ˙ dV = r dr dφ dz q: veloc. de gener. de energ´a por u. de vol. [W/m3 ] ˙ ı T´ rmino de acumulaci´ n e o ˙ ∂T Ea = ρ cp r dr dφ dz ∂t 4. Ec. de conservaci´ n de la energ´a, base instant´ nea. o ı a ˙ ˙ ˙ ˙ Ee + Eg − Es = Ea (4) Reemplazando en (4) las expresiones de cada t´ rmino: e ∂T qr + qφ + qz + q r dr dφ dz − qr+dr − qφ+dφ − qz+dz = ρ cp ˙ r dr dφ dz (5) ∂t Aplicando las ecuaciones (1), (2), (3) ∂qr ∂qφ ∂qz ∂T − dr − dφ − dz + q r dr dφ dz = ρ cp ˙ dr r dφ dz (6) ∂r ∂φ ∂z ∂t Por la Ley de Fourier, ∂T qr = − k r dφ dz (7) ∂r ∂T qz = − k r dφ dr (8) ∂z ∂T 1 qφ = − k dr dz (9) ∂φ r Reemplazando (7), (8) y (9) en (6), dividiendo m.a.m. por r dr dφ dz 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T kr + k + k + q = ρ cp ˙ (10) r ∂r ∂r r2 ∂φ ∂φ ∂z ∂z ∂t → Ec. de difusi´ n del calor en coordenadas cil´ndricas. o ı Prof. Mariana A. Suarez 2-4 Aux. Mart´n E. Krenek ı
- 3. ´ Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No 2 2o Cuatrimestre 2006 Ecuaci´ n de difusi´ n del calor en coordenadas esf´ ricas o o e 1. Esquema 2. Procesos relevantes de transferencia de energ´a ı T´ rmino de entrada e ˙ Ee = qr + qφ + qθ qr , qφ , qθ : veloc. de transf. por conducci´ n, normales a cada sup. de control. o T´ rmino de salida e ˙ Es = qr+dr + qφ+dφ + qθ+dθ Aplicando desarrollo de Taylor, despreciando t´ rminos de orden sup. e ∂qr qr+dr = qr + dr (11) ∂r 1 ∂qφ qφ+dφ = qφ + r sin θ dφ (12) r sin θ ∂φ 1 ∂qθ qθ+dθ = qθ + r dθ (13) r ∂θ T´ rmino de generaci´ n e o ˙ Eg = q r2 sin θ dr dφ dθ ˙ dV = r2 sin θ dr dφ dθ q: veloc. de gener. de energ´a por u. de vol. [W/m3 ] ˙ ı T´ rmino de acumulaci´ n e o ˙ ∂T 2 Ea = ρ cp r sin θ dr dφ dθ ∂t 3. Ec. de conservaci´ n de la energ´a, base instant´ nea. o ı a ˙ ˙ ˙ ˙ Ee + Eg − Es = Ea (14) Reemplazando en (14) las expresiones de cada t´ rmino: e ∂T 2 qr + qφ + qθ + q r2 sin θ dr dφ dθ − qr+dr − qφ+dφ − qθ+dθ = ρ cp ˙ r sin θ dr dφ dθ (15) ∂t Aplicando las ecuaciones (11), (12), (13) ∂qr ∂qφ ∂qθ ∂T 2 − dr − dφ − dθ + q r2 sin θ dr dφ dθ = ρ cp ˙ r sin θ dr dφ dθ (16) ∂r ∂φ ∂θ ∂t Prof. Mariana A. Suarez 3-4 Aux. Mart´n E. Krenek ı
- 4. ´ Procesos y Maquinas Industriales II Ejercicios 1 y 2 - TP No 2 2o Cuatrimestre 2006 Por la Ley de Fourier, ∂T qr = − k r2 sin θ dφ dθ (17) ∂r 1 ∂T qθ = − k r sin θ dφ dr (18) r ∂θ 1 ∂T qφ = − k r dr dθ (19) r sin θ ∂φ Reemplazando (17), (18) y (19) en (16), dividiendo m.a.m. por r2 sin θ dr dφ dθ 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂T k r2 + 2 k + k sin θ + q = ρ cp ˙ (20) r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂φ ∂φ r2 sin θ ∂θ ∂θ ∂t → Ec. de difusi´ n del calor en coordenadas esf´ ricas. o e Prof. Mariana A. Suarez 4-4 Aux. Mart´n E. Krenek ı