![Velocidad Media
Δr r f − ri
<v> ≡ =
Δt t f − ti
[ Δr ] = L = m
[ < v > ] = Δt T s
<v> [ ]
Δr](https://image.slidesharecdn.com/cap04-120510003744-phpapp02/85/Cap04-C1-7-320.jpg)
![Velocidad Instantánea
Δr r f − ri
v ( t ) = v inst ≡ lim = lim
Δt → 0 Δt Δt → 0 t f − t i
recta
tangente
[d r ] = L m
[v ] = dt =
[ ] T s](https://image.slidesharecdn.com/cap04-120510003744-phpapp02/85/Cap04-C1-10-320.jpg)
![Cálculo analítico del límite
ˆ
r ( t ) = 3t 2 i
Entonces:
Δ r = r f − ri = r ( t + Δ t ) − r ( t )
Δ r = 3 (t + Δt ) i − 3t 2i
ˆ ˆ
2
Δ r = ⎡ 3 ( t 2 + 2 tΔ t + Δ t 2 ) − 3 t 2 ⎤ i
⎣ ⎦
ˆ
Δ r = ⎡ 6 tΔ t + 3 Δ t 2 ⎤ iˆ
⎣ ⎦
Dividiendo por Δt, se tiene:
Δr
Δt
= [ 6 t + 3 Δ t ]iˆ
Por lo tanto:
Δr
v (t ) = lim ˆ
= 6t i
Δt → 0 Δ t](https://image.slidesharecdn.com/cap04-120510003744-phpapp02/85/Cap04-C1-14-320.jpg)
Cap04 - C1
- 1. Capítulo 04 Cinemática en Dos Dimensiones
- 2. Contenido ● Posición ● Desplazamiento y distancia recorrida ● Velocidad y rapidez media ● Velocidad y rapidez instantánea ● Aceleración media e instantánea ● Movimiento con aceleración constante ● Movimientos Unidimensionales ● Caída Libre ● Movimiento de Proyectiles ● Movimiento Circunferencial Uniforme
- 3. Posición ˆ ˆ ˆ r = xi + yj + zk y Módulo: r x r = r = x2 + y 2 + z 2 z
- 4. Desplazamiento Δr ≡ r f − ri trayectoria distancia recorrida Δs vector desplazamiento Δr ri rf
- 5. Desplazamiento Δ r = r f − ri Si: ri = x i i + y i ˆ + z i k ˆ j ˆ y rf = x f i + y f ˆ + z f k ˆ j ˆ Entonces: Δr = ( ) ( ) x f − xi i + y f − yi ˆ + z f − zi k ˆ j ˆ ( ) Δr = ( Δx ) i + ( Δy ) ˆ + ( Δz ) k ˆ j ˆ Magnitud del vector desplazamiento: (x ) +(y ) +(z ) 2 2 2 Δr = f − xi f − yi f − zi
- 6. En general: Magnitud del vector distancia desplazamiento recorrida Ejemplo: En un año la Tierra gira en torno al Sol ...
- 7. Velocidad Media Δr r f − ri <v> ≡ = Δt t f − ti [ Δr ] = L = m [ < v > ] = Δt T s <v> [ ] Δr
- 8. Velocidad Media Δr r f − ri <v> = = Δt t f − ti Si: ri = xi i + yi ˆ + zi k ˆ j ˆ y rf = x f i + y f ˆ + z f k ˆ j ˆ Entonces: <v> = (x f − xi ) iˆ + ( y f − yi ) ˆj + ( z f − zi ) kˆ t f − ti t f − ti t f − ti Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ <v> = i+ j+ k Δt Δt Δt < v > = < vx > i+ < v y > ˆ < v z > k ˆ j+ ˆ “Componente y de la velocidad media” = “velocidad media en el eje y”
- 9. Ejemplo: Calcule el desplazamiento y la velocidad media, si el intervalo de tiempo entre las dos posiciones es Δt = 10 s y las posiciones están medidas en metros.
- 10. Velocidad Instantánea Δr r f − ri v ( t ) = v inst ≡ lim = lim Δt → 0 Δt Δt → 0 t f − t i recta tangente [d r ] = L m [v ] = dt = [ ] T s
- 11. Velocidad Instantánea Δr dr v ( t ) = lim = Δt → 0 Δt dt ⎡ Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ ⎤ v ( t ) = lim ⎢ i+ j+ k⎥ Δt → 0 ⎣ Δt Δt Δt ⎦ ⎡ Δx ⎤ ˆ ⎡ Δy ⎤ ˆ ⎡ Δz ⎤ ˆ v ( t ) = ⎢ lim ⎥ i + ⎢ lim0 Δt ⎥ j + ⎢ lim0 Δt ⎥ k ⎣ Δt → 0 Δt ⎦ ⎣ Δt → ⎦ ⎣ Δt → ⎦ ⎡ dx ⎤ ˆ ⎡ dy ⎤ ˆ ⎡ dz ⎤ ˆ v (t ) = ⎢ ⎥ i + ⎢ ⎥ j + ⎢ ⎥ k ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ v (t ) = v x i + v y ˆ + vz k ˆ j ˆ
- 12. Ejemplo: Considere un automóvil moviéndose en línea recta ... En este caso tendremos que: r = x(t) i ˆ x 42 Suponga, además, que el auto se 36 mueve de acuerdo a la siguiente 30 ecuación de itinerario: 24 18 r (t ) = 3t 2i ˆ 12 6 con t en segundos y x en metros 0 1 2 3 4 t ¿Cuánto vale la velocidad instantánea cuando t = 3 s?
- 13. Desplazamiento y velocidad media para diferentes intervalos de tiempo. ˆ r ( t ) = 3t 2 i (los intervalos comienzan en t = 3 s) Δt(s) Δr ( m ) < v > (m / s) x 1,00 21,00 i 21,00 i 42 0,50 9,75 i 19,50 i 36 30 0,25 4,69 i 18,80 i 24 0,10 1,83 i 18,30 i 18 12 0,05 0,9075 i 18,15 i 6 0,1803 i 18,03 i 0,01 1 2 3 4 t 0,001 0,018003 i 18,003 i pendiente de la Por ejemplo, para Δt = 0,01s: tangente en t =3s Δr = r f − ri = x ( 3s + 0,01s ) i − x ( 3s ) i ˆ ˆ Δr = 3 ( 3,01) mi ˆ − 3 ( 3 ) 2 mi = ( 27,1803m − 27m ) i = 0,1803mi ˆ ˆ ˆ 2
- 14. Cálculo analítico del límite ˆ r ( t ) = 3t 2 i Entonces: Δ r = r f − ri = r ( t + Δ t ) − r ( t ) Δ r = 3 (t + Δt ) i − 3t 2i ˆ ˆ 2 Δ r = ⎡ 3 ( t 2 + 2 tΔ t + Δ t 2 ) − 3 t 2 ⎤ i ⎣ ⎦ ˆ Δ r = ⎡ 6 tΔ t + 3 Δ t 2 ⎤ iˆ ⎣ ⎦ Dividiendo por Δt, se tiene: Δr Δt = [ 6 t + 3 Δ t ]iˆ Por lo tanto: Δr v (t ) = lim ˆ = 6t i Δt → 0 Δ t
- 15. Resumiendo, si: r ( t ) = 3t i 2ˆ Entonces: v ( t ) = 6t i ˆ “Ruta corta”: ¡ DERIVAR ! d d 2 dt ( 3t ) = 3 dt ( t ) = 3 ( 2 ⋅ t ) = 6t 2
- 16. Algunas derivadas útiles df f (t ) dt α 0 tn n t n−1 s in ( t ) co s ( t ) cos (t ) − s in ( t ) dg dh g (t ) + h (t ) + dt dt dg dh g (t )⋅ h (t ) ⋅ h (t ) + g (t )⋅ dt dt dg dh g ( h ( t )) ⋅ dh dt
- 17. Rapidez La rapidez se define como el módulo del vector velocidad. v≡ v = v x + v 2 + v z2 2 y Por lo tanto, la rapidez no es un vector, es un escalar. v= v ⋅v
- 18. Aceleración Media Δv v f − v i <a> ≡ = Δt Δt y vf x v vi vf <a> vi
- 19. Aceleración Media Δv v f − vi <a> = = Δt Δt Si: v i = v xi i + v yi ˆ + v zi k ˆ j ˆ y v f = v xf i + v yf ˆ + v zf k ˆ j ˆ Entonces: <a > = (v xf − v xi ) iˆ + ( v yf − v yi ) ˆj + ( v zf − v zi ) kˆ t f − ti t f − ti t f − ti Δv x ˆ Δv y ˆ Δv z ˆ <a> = i+ j+ k Δt Δt Δt < a > = < a x > i+ < a y > ˆ < a z > k ˆ j+ ˆ “Componente y de la aceleración media” = “aceleración media en el eje y”
- 20. Aceleración Instantánea Δv v f − vi a ( t ) = a inst ≡ lim = lim Δt → 0 Δ t Δt → 0 Δt vi vi vf v <a> vf ri rf
- 22. Aceleración Instantánea Δv dv a ( t ) = lim = Δt → 0 Δt dt ⎡ Δv x ˆ Δv y ˆ Δvz ˆ ⎤ a ( t ) = lim ⎢ i+ j+ k⎥ Δt → 0 ⎣ Δ t Δt Δt ⎦ ⎡ Δv x ⎤ ˆ ⎡ Δv y ⎤ ˆ ⎡ Δvz ⎤ ˆ a ( t ) = ⎢ lim ⎥i + ⎢ lim ⎥ j + ⎢ lim ⎥k ⎣ Δt → 0 Δ t ⎦ ⎣ Δt → 0 Δ t ⎦ ⎣ Δt → 0 Δ t ⎦ ⎡ dv x ⎤ ˆ ⎡ dv y ⎤ ˆ ⎡ dvz ⎤ ˆ a (t ) = ⎢ ⎥ i + ⎢ dt ⎥ j + ⎢ dt ⎥ k ⎣ dt ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ a (t ) = a x i + a y ˆ + azk ˆ j ˆ Como: dr d ⎛ dr ⎞ d 2 r v (t ) = ⇒ a (t ) = ⎜ dt ⎟ ≡ dt 2 dt dt ⎝ ⎠
- 23. Caso particular: Movimiento Rectilíneo ˆ r = x ( t )i ˆ v = v x ( t )i ˆ a = a x ( t )i dx dv x d 2 x v x (t ) = a x (t ) = = dt dt dt 2
- 24. Movimiento Rectilíneo Uniforme x x x vx vx vx ax ax ax
- 25. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado v(t) = pendiente de la tangente en t
- 26. Ejemplo: Δt = 1s mˆ mˆ mˆ mˆ v ( t i ) = +2 s i ( ) v t f = +4 s i v ( t i ) = +4 s i ( ) v t f = +2 s i mˆ mˆ a x = +2 2 i a x = −2 2 i s s mˆ mˆ v ( ti ) = −2 s i ( ) v t f = −1 i s v ( ti ) = −2 mˆ s i ( ) mˆ v t f = −3 i s mˆ m ˆ a x = +1 2 i a x = −1 2 i s s
- 28. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t) Caso M.R.U. vx vx(t) = vx0 = constante vx0 ti tf t Δt área "bajo la curva": v x0 Δt = Δx = x f − xi
- 29. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t) Caso General vx Δx = x f − xi Δx = Δx1 + Δx2 + ... Δx = v x1Δt1 + v x2 Δt 2 + ... Δx ≈ A1 + A2 + ... Δx = A ti tf
- 30. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t) vx Caso General tf tf Δx = lim ∑ v (t i )Δt i = ∫ v (t )dt x Δt i → 0 t i ti ti ti t desplazamiento Δx entre ti y tf = área delimitada por gráfico vx v/s t entre ti y tf
- 31. Cálculo del desplazamiento a partir de v(t) Caso M.R.U.A. Este cálculo ya se hizo en el capítulo 2 y las leyes obtenidas son: a x = cte . v x ( t ) = v x0 + a x ( t − t 0 ) ax x ( t ) = x 0 + v x0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 ) 2 2 Además: v x = v x0 + 2 a x ( x − x 0 ) 2 2
- 32. Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante Suponga que en 3D el cuerpo se mueve con aceleración cte. a = a x i + a y ˆ + az k ˆ j ˆ Podemos descomponer este mov. en 3 mov. independientes: uno en el eje x, otro en el eje y y otro en el eje z t − t 0 ) v x ( t ) = v x0 + a x ( t − t 0 ) ax x ( t ) = x 0 + v x0 ( t − t 0 ) + ( 2 Eje x: ax= cte. 2 ay y ( t ) = y 0 + v y0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 ) v y ( t ) = v y0 + a y ( t − t 0 ) 2 Eje y: ay= cte. 2 az Eje z: az= cte. z ( t ) = z 0 + v z0 ( t − t 0 ) + ( t − t0 ) 2 v z ( t ) = v z0 + a z ( t − t 0 ) 2
- 33. Movimiento en 2 ó 3 dimensiones con aceleración constante a = cte . v ( t ) = v0 + a ( t − t0 ) 1 r ( t ) = r0 + v 0 ( t − t 0 ) + a ( t − t 0 ) 2 2 Además: v 2 ( t ) = v 0 + 2 a ⋅ ( r − r0 ) 2
- 34. Caída Libre y Movimiento de Proyectil a = cte . ≡ g
- 35. Caida Libre y Movimiento de Proyectil Galileo Galilei Galileo Galilei (1564-1642): Nacido en Pisa. Su padre, Vincenzio Galilei fue matemático y músico. Estudió medicina en la Univ. de Pisa. 1589: Profesor de matemáticas en Pisa. En 1610 publica “Sidereus Nuncius” en el que presenta observaciones astronómicas efectuadas con su telescopio. En 1632 publica “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”. En 1638 publica “Discorsi e Dimostrazioni Matematiche delle due nuove scienze” (donde describe la caída libre).
- 36. pelota vy= 0 en el punto más alto durante el descenso g ay = -g, la rapidez aumenta y la durante el ascenso velocidad se hace ay = -g, la rapidez más negativa disminuye y la velocidad se hace menos positiva m g = − g ˆ = − 9,8 2 ˆ j j s v y ( t ) = v y0 − g ( t − t0 ) g y ( t ) = y0 + v y0 ( t − t0 ) − ( t − t0 ) 2 2
- 37. y ( t ) (m ) altura t (s) En ambos lanzamientos, vy=0 m/s en el vy(t) (m/s) punto de altura máxima velocidad t (s) lanzamiento “rápido” lanzamiento “lento”
- 38. Problema: Calcular el tiempo que tarda un proyectil en llegar a tierra, si éste se lanza con una velocidad de 16 m/s hacia arriba, desde una altura de 100 m
- 39. -3,17 s 6,44 s
- 40. Movimiento de Proyectil ● Podemos: ● Ignorar el roce con el aire ● Ignorar la rotación de la tierra ● Con estas aproximaciones, tenemos que : – Una vez liberado, sólo la gravedad actúa sobre el cuerpo, tal como en el movimiento de lanzamiento vertical. – Como la gravedad acelera el cuerpo hacia abajo, entonces: Hay aceleración vertical hacia abajo. NO hay aceleración horizontal. El cuerpo sigue una trayectoria parabólica.
- 41. Si elegimos un sistema de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba, entonces: a x = 0 m/s 2 ay = − g g Supongamos también que en t0 = 0 el cuerpo parte y del origen de coordenadas, es decir: x0 = 0 m y0 = 0 m x 1 2 x ( t ) = v x0 t y ( t ) = v y0 t − gt 2 v x ( t ) = v x0 v y ( t ) = v y0 − gt 2 ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞ y = v y0 ⎜ ⎟− g⎜ ⎟ ⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠ ⎛ v y0 ⎞ 1⎛ g ⎞ 2 y( x ) = ⎜ ⎟x − ⎜ 2 ⎟x ⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠
- 42. ⎛ v y0 ⎞ 1⎛ g ⎞ 2 y = ⎜ ⎟x − ⎜ 2 ⎟x ⎝ v x0 ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠ 2 1 ⎛ g ⎞⎛ 2 2v x0 v y0 ⎞ 1 ⎛ g ⎞⎛ v x0 v y0 ⎞ v2 y0 y = − ⎜ 2 ⎟⎜ x − x⎟ = − ⎜ 2 ⎟⎜ x − ⎟ + 2 ⎝ v x0 ⎠ ⎝ g ⎠ 2 ⎝ v x0 ⎠ ⎝ g ⎠ 2g y v 20 y 2g g v0 0 v x0 v y0 x g
- 43. g
- 44. Alcance y Altura Máxima El proyectil alcanza la altura máxima cuando: vy = 0 m/s v y ( t ) = v 0 sen θ 0 − g t 0 = v 0 sen θ 0 − gt hm v 0 sen θ0 tiempo en que t hm = alcanza la altura g máxima Al sustituir este tiempo en la ley de la posición vertical, se tiene: 1 2 y ( t ) = hm ax = v 0 senθ 0 t hm − gt hm 2 2 ⎛ v 0 senθ0 ⎞ 1 ⎛ v 0 senθ0 ⎞ hmax = v 0 senθ0 ⎜ ⎟− g⎜ ⎟ ⎝ g ⎠ 2 ⎝ g ⎠ v 0 sen 2 θ 0 2 hm ax = 2g
- 45. Siempre que el punto inicial y final estén a la misma altura: v 0 senθ 0 El tiempo total de vuelo es: tt = 2thm tt = 2 g Reemplazando en la ley de la posición horizontal, se tiene: x (tt )= v 0co sθ 0 t t Luego, el alcance R es: ⎛ v 0 senθ 0 ⎞ R = ( v 0 cos θ 0 ) ⎜ 2 ⎟ ⎝ g ⎠ 2 v0 2cosθ0 senθ0 R= g 2 v 0 sen ( 2 θ 0 ) R = g
- 46. ⎛π ⎞ R ⎜ − θ0 ⎟ = R (θ0 ) ⎝ 2 ⎠ 2 v0 π R m ax = Para: θ0 = g 4
- 47. Problema Un avión lanza un paquete a un grupo de exploradores. El avión 0 vuela horizontalmente a una altura de 100 m sobre el suelo, con una rapidez de 40 m/s ¿Dónde cae el paquete, relativo a la posición en que fue lanzado? 1. Introducimos un sistema de coordenadas Eje y: dirigido hacia abajo Eje x: dirigido hacia la derecha Origen: en la posición del avión cuando lanza el paquete d 2. Tenemos que: x0 = 0 m y0 = 0 m vx0= +40 m/s vy0 = 0 m/s ax= 0 m/s2 ay= +g = + 9,8 m/s2 1 100 m 3. y ( t ) = gt 2 = + 4,9 ( m / s 2 ) t 2 4. y = + 100 m → t = = 4,52 s 2 4,9 m / s 2 x ( t ) = v x0 t = 40 ( m / s ) t 5. d = x ( 4,52 s ) = ( 40 m / s ) ⋅ ( 4,52 s ) = 181 m
- 49. Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U. • La trayectoria del móvil es una circunferencia y • La recorre con rapidez constante: v = cte. vi vi Δv vf vf <a> ri rf
- 50. Aceleración Centrípeta. vi Δθ Δv vi vf Δθ / 2 ⎛ Δθ ⎞ Δv ac Δθ / 2 sen ⎜ ⎟ = 2v ⎝ 2 ⎠ vf ⎛ Δθ ⎞ Δr Δθ sen ⎜ ⎟ = 2r ⎝ 2 ⎠ v Δv = Δr r Δv Δr v = Δt Δt r v Si: Δt → 0 a = v r
- 51. Movimiento Circunferencial Uniforme: M.C.U. Aceleración Centrípeta: v2 ac = r Velocidad Tangencial: 2πr v = T T = Periodo
- 52. Aceleración Radial (Centrípeta) y Tangencial En general: a = ac + a t 2 v dv d v ac = at = = r dt dt a = ac2 + at2
- 53. Movimiento Relativo r' r u = cte . ut K' K r = r' + ut pos. del cpo. c/r al sist. K = pos. del cpo. c/r al sist. K ' + pos. del sist. K ' c/r a K v = v' + u vel. del cpo. c/r al sist. K = vel. del cpo. c/r al sist. K ' + vel. del sist. K ' c/r al sist. K acel. del cpo. c/r al sist. K = acel. del cpo. c/r al a = a' sist. K ' (si vel. de K ' c/r a K es cte.)
- 55. Movimiento Relativo vrt N vbt O E S vbr
- 56. Movimiento Relativo vrt N vbt O E vbr θ S v b t = v b r + v rt